Alessia scrive: Calcolo dei limiti in più variabili

Oggetto: Calcolo dei limiti in più variabili

Corpo del messaggio:
Salve, i problemi per cui vorrei chiedere dei chiarimenti sono il 2.1 e 2.4; non ho capito come riesco a trovare le due rette su cui dovrei fare la restrizione di f(x,y), ovvero come trovo le rette y=x e y=-x nell’es.2.1 e le rette y=x^2 e y=-x^2 nell’es.2.4.Il resto del procedimento è chiaro, vi vorrei chiedere se potete illustrarmi il modo in cui mi ricavo le rette su cui fare la restrizione per provare la non esistenza del limite.Grazie!

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Risposta dello staff

2.1)

Prova a considerare il discorso in maniera diversa:

Considera una retta qualsiasi passante per O, che quindi avrà equazione y=mx.

Andando a sostituire otteniamo:

    \[\lim_{(x,mx) \to (0,0)}  \frac {mx^2}{x^2(1+m)}=  \frac {m}{1+m}\]

Di conseguenza, dipendendo il limite da m, allora questo limite non esiste.

2.4)

Questa volta il discorso di prima non ci da un risultato preciso:

    \[\lim_{(x,mx) \to (0,0)}  \frac {mx^3}{x^2(x^2+m^2)}= \lim_{(x,mx) \to (0,0)}  \frac {mx}{x^2+m^2}=0\]

Il discorso lineare questa volta ci dice che ogni retta uscente dall’origine ha lo stesso limite, ovvero 0, ma non ci aiuta a capire l’esistenza del limite.

Prendiamo quindi la più facile funzione quadratica passante per l’origine:

y=mx^2

    \[\lim_{(x,mx^2) \to (0,0)}  \frac {mx^4}{x^4(1+m^2)}= \lim_{(x,mx^2) \to (0,0)}  \frac {m}{1+m^2}\]

Di conseguenza, dipendendo il limite da m, allora questo limite non esiste.

 

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