Eleonora scrive: Disequazione parametrica

Oggetto: Disequazione parametrica

Corpo del messaggio:
-x^(8)+ax^(6)-2x^(4)<=0

Volevo chiedere come risolvere questa disequazione parametrica, e inoltre come capire quali casi al variare del parametro a prendere in considerazione in questo tipo di esercizi.
Grazie

Risposta dello staff

$-x^8+ax^6-2x^4 \leq 0$

Mettendo in evidenza $-x^4$ semplifichiamo un po’ l’esercizio e otteniamo:

$-x^4(x^4-ax^2+2) \leq 0$

Cambiando di segno otteniamo:

$x^4(x^4-ax^2+2) \geq 0$

Quindi sapendo che, $x^4 \geq 0 \forall x \in \mathb{R}$ , rimane solo da studiare:

$x^4-ax^2+2 \geq 0$

Notiamo che, essendo una biquadratica, se il $\Delta \leq 0$ , questa disequazione è verificata per ogni x.

Poniamo $x^2=y$ , così da avere:

$y^2-ay+2 \geq 0$

da cui:

$y_{\frac 12}=\frac {a \pm \sqrt{a^2-8}}{2}$

Ora, se $a^2-8 \leq 0$ ,la disequazione iniziale è sempre verificata, e quindi

se $-2\sqrt 2 \leq a \leq 2\sqrt 2$ la disequazione è verificata $\forall x$ .

Per valori di a esterni all’intervallo avremo:

$y \leq \frac {a - \sqrt{a^2-8}}{2} \quad \lor \quad y \geq \frac {a + \sqrt{a^2-8}}{2}$

Ora, essendo $y$ positivo per definizione, se a fosse negativo, avremmo che la prima disequazione non potrebbe mai essere verificata, ma la seconda lo sarebbe per qualsiasi valore di x.

Questo implica che per $a \leq 2\sqrt 2$ la disequazione iniziale è sempre verificata.

Se invece $a>2\sqrt2$ , analizziamo separatamente le due disequazioni, e la soluzione totale sarà l’unione delle due:

$x^2 \leq \frac {a - \sqrt{a^2-8}}{2} \iff -\sqrt{\frac {a - \sqrt{a^2-8}}{2} } \leq x \leq \sqrt{\frac {a - \sqrt{a^2-8}}{2} }$

$x^2 \geq \frac {a + \sqrt{a^2-8}}{2} \iff x \leq -\sqrt{\frac {a + \sqrt{a^2-8}}{2} } \quad \lor \quad x \geq \sqrt{\frac {a + \sqrt{a^2-8}}{2} }$

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Eleonora scrive: Disequazione parametrica

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