Nicolò scrive: Matematica

Oggetto: Matematica 1

Corpo del messaggio:
Aiutoooooo ho esame.

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Risposta dello staff

Studiare l’andamento della funzione

\begin{cases} f(x)=e^{-(x+1)^2} \, \, \, \mbox{ se } \, \, x \leq 0 \\ f(x)=x^2-x+\frac 1e \, \, \, \mbox{ se } \, \, x>0 \end{cases}

Descrivendone gli aspetti qualitativi e quantitativi. Disegnare un grafico.

Studiamo la funzione:

Il dominio è tutto R, in quanto nel primo tratto è una funzione esponenziale il cui esponente è un binomio, mentre la seconda è una funzione razionale intera.

La funzione è continua in 0 in quanto

f(0^-)=e^{-1}=\frac 1e=f(0^+)

Sarà sicuramente positiva per x \leq0; studiamo invece la positività nell’altro tratto:

x^2-x+\frac 1e>0

\Delta=1-\frac 4e<0

Essendo il \Delta negativo allora l’equazione associata non ammetterà soluzioni, ovvero la funzione è sempre positiva anche nel secondo tratto.

Studiamo i limiti negli estremi:

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)=0\]

    \[\lim_{x \to +\infty } f(x)=+\infty\]

.

Notando che il secondo tratto è una parabola rivolta verso l’alto, il minimo sarà dato dal suo vertice. Verifichiamo che questo appartenga al suo dominio:

V(-\frac {b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})

V(\frac {1}{2};\frac {4-e}{4e})

Questo sarà un minimo relativo della funzione.

Verifichiamo ce ne siano anche nel primo tratto:

f'(x)=-2(x+1)e^{-(x+1)^2}

Da cui, essendo l’esponenziale sempre positivo, la positività della derivata prima si limita allo studio di:

-2(x+1) \geq 0

-2x-2 \geq0

x \leq -1

quindi la funzione sarà crescente da -\infty a -1, decrescente da -1 a \frac 12, e crescente nell’intervallo seguente.

Il grafico sarà:

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