Esercizio 10 Formule di addizione e sottrazione

Traccia

$tg(45^\circ-x)cotg(45^\circ+x)=7-4\sqrt3$

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare la formula di addizione e di sottrazione:

$cotg(\alpha+\beta)=\frac {cotg \alpha cotg \beta - 1}{cotg\alpha+ cotg \beta}$ .

$tg(\alpha-\beta)=\frac {tg \alpha - tg \beta}{1+tg\alpha tg \beta}$ .

Sfruttando questa espressione nell’equazione iniziale, otteniamo:

$tg(45^\circ-x)cotg(45^\circ+x)=7-4\sqrt3$

$\frac {tg 45^\circ - tg x}{1+tg 45^\circ tg x} \frac {cotg 45^\circ cotg x - 1}{cotg45^\circ+ cotg x}=7-4\sqrt 3$

$\frac {1 - tg x}{1+tg x} \frac {cotg x - 1}{1+ cotg x}=7-4\sqrt3$

Trasformiamo tutto in $tgx$ , sfruttando l’equivalenza: $cotgx=\frac {1}{tgx}$

$\frac {1 - tg x}{1+tg x} \frac {\frac 1{tg x} - 1}{1+ \frac 1{tgx}}=7-4\sqrt3$

$\frac {1 - tg x}{1+tg x} \frac {\frac {1-tgx}{tg x}}{ \frac {tgx + 1}{tgx}}=7-4\sqrt3$

Da cui, semplificando il secondo termine per $tgx$ otteniamo:

$\frac {1 - tg x}{1+tg x} \frac {1-tgx}{ tgx + 1}=7-4\sqrt3$

$\frac {(1 - tg x)^2}{(1+tg x)^2}=7-4\sqrt3$

Imponendo che

$tgx \neq -1$

e notando che:

$7-4\sqrt 3=(2-\sqrt3)^2$

otteniamo:

$\left( \frac {(1 - tg x)}{(1+tg x)}\right )^2=(2-\sqrt3)^2$

$\frac {(1 - tg x)}{(1+tg x)}=\pm (2-\sqrt3)$

Svolgiamo 2 casi differenti:

$\frac {(1 - tg x)}{(1+tg x)}=- (2-\sqrt3)$

$1 - tg x=- (2-\sqrt3)(1+tgx)$

$1 - tg x=- 2-2tgx+\sqrt3 +\sqrt3 tgx$

$tgx(1-\sqrt3)=1+\sqrt3$

$tgx=\frac {1+\sqrt3}{1-\sqrt 3}$

$tgx=\frac {(1+\sqrt3)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt 3)(1+\sqrt3)}$

$tgx=\frac {1+3+2\sqrt3}{-2}$

$tgx=-2-\sqrt3$

da cui:

$x=105^\circ \quad \lor \quad x= 285^\circ$

$\frac {(1 - tg x)}{(1+tg x)}=2-\sqrt3$

$1 - tg x=(2-\sqrt3)(1+tgx)$

$1 - tg x=2+2tgx-\sqrt3 - \sqrt3 tgx$

$tgx(\sqrt 3-3)=1-\sqrt3$

$tgx=\frac {1-\sqrt3}{\sqrt 3-3}$

$tgx=\frac {(1-\sqrt3)(3+\sqrt3)}{(\sqrt 3-3)(3+\sqrt3)}$

$tgx=\frac {3+\sqrt3-3\sqrt3-3}{-6}$

$tgx=\frac {2\sqrt3}{6}$

$tgx=\frac {\sqrt3}{3}$

da cui:

$x=30^\circ \quad \lor \quad x= 210^\circ$

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