Esercizio 7 Formule di addizione e sottrazione

Traccia

tg(45^\circ+x)=2+3tgx

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare la formula di addizione:

tg(\alpha+\beta)=\frac {tg \alpha + tg \beta}{1-tg\alpha tg \beta}.

Sfruttando questa espressione nell’equazione iniziale, otteniamo:

tg(45^\circ+x)=2+3tgx

\frac {tg 45^\circ + tg x}{1-tg 45^\circ tg x}=2+3tgx

\frac {1 + tg x}{1-tg x}=2+3tgx

\frac {1 + tg x}{1-tg x}=\frac {(2+3tgx)(1-tgx)}{1-tgx}

Imponendo che:

tg \neq 1

otteniamo:

1+tgx=2-2tgx+3tgx-3tg^2x

3tg^2x-1=0

tg^2x=\frac 13

tgx=\pm \frac {1}{\sqrt 3}=\pm \frac  {\sqrt 3}{3}

Da cui avremo come soluzione:

tgx= \frac  {\sqrt 3}{3} \Rightarrow x= 30^\circ \quad \lor \quad x= 210^\circ.

tgx= - \frac  {\sqrt 3}{3} \Rightarrow x= 150^\circ \quad \lor \quad x= 330^\circ.

 

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