Esercizio 9 formula di bisezione

Traccia

tg^2 \frac x2 + 2 cos x = \frac 43

Svolgimento

Per risolvere questa equazione dobbiamo prima usare la formula:

tg \frac x2 = \pm \sqrt {\frac {1-cosx}{1+cosx}}

Da cui, sostituendo nell’equazione iniziale otteniamo:

\frac {1-cosx}{1+cosx} + 2 cos x = \frac 43

\frac {3-3cosx+6cosx(1+cosx)}{3(1+cosx)} = \frac{4(1+cosx)}{3(1+cosx)}

Imponendo che cosx \neq -1 otteniamo:

3-3cosx+6cosx+6cos^2x -4-4cosx=0

6cos^2x -cosx-1=0

Risolviamo come equazione di secondo grado:

a=6

b=-1

c=-1

cos_{\frac 12}x= \frac {1 \pm \sqrt {1+24}}{12}

cos_{\frac 12}x= \frac {1 \pm \sqrt {25}}{12}

cos_{\frac 12}x= \frac {1 \pm 5}{12}

cos_1x= \frac {1 - 5}{12}=-\frac 13

che ammetterà come soluzione

x= \pm arcos \frac 13

cos_2x= \frac {1+ 5}{12}=\frac 12

che ammetterà come soluzione:

x=\frac 13 \pi \quad \lor \quad x=\frac 53 \pi

 

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