Esercizio 10 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

cos x cos 3x = cos 4x cos 2x

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

cos(\alpha)cos(\beta)=\frac 12 [cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

\frac 12 [cos(x+3x)+cos(x-3x)]=\frac 12 [cos(4x+2x)+cos(4x-2x)]

Moltiplicando tutto per 2 otteniamo:

cos(4x)+cos(-2x)=cos(6x)+cos(2x)

Ricordandosi che cos(\alpha)=cos(-\alpha) otteniamo:

cos (4x)=cos(6x)

Da qui, sfruttando le formule di prostaferesi sull’equazione:

cos(6x)-cos(4x)=0

otteniamo:

-2sen \frac {6x+4x}{2} sen {6x-4x}{2}=0

da cui:

sen5x senx=0

da cui avremo due casi:

  • sen 5x=0

5x= k \pi \Rightarrow x= \frac 15 k \pi

  • senx=0

x= k \pi

 

 

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