Esercizio 3 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

sen 4x + sen 2x = sen 3x

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

sen(\alpha)+sen(\beta)=2sen(\frac {\alpha+\beta}{2})cos(\frac {\alpha-\beta}{2})

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

2sen\frac {4x+2x}{2}cos\frac {4x-2x}{2}=sen3x

2sen\frac {6x}{2}cos\frac {2x}{2}-sen3x=0

2sen 3x cos(x)-sen3x=0

Mettendo in evidenza sen3x avremo:

sen3x(2cosx-1)=0

da cui avremo due casi:

  • sen 3x=0

3x= 0 + 2k\pi \Rightarrow x=0 +\frac 23 k \pi

3x= \pi + 2k\pi \Rightarrow x=\frac 13 \pi +\frac 23 k \pi

  • cosx=\frac 12

x=\frac 13 \pi  + 2k\pi

x=\frac 53 \pi + 2k\pi

 

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