Esercizio 14 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

sen 2x sen x= sen 4x sen 3x

Svolgimento

Utilizziamo le formule di werner, che ci dicono che:

sen(\alpha)sen(\beta)=\frac 12 [cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha-\beta)]

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

\frac 12 [cos(2x-x)-cos(2x+x)]=\frac 12 [cos(4x-3x)-cos(4x+3x)]

Moltiplicando tutto per 2 otteniamo:

cos (x)- cos(3x)=cos (x)-cos(7x)

cos (7x) - cos(3x)=0

utilizziamo prostaferesi per ottenere:

-2sen\frac {7x+3x}{2}sen\frac {7x-3x}{2}=0

da cui avremo:

sen (5x)sen(2x)=0

da cui avremo due casi:

  • sen 5x=0

5x= k \pi \Rightarrow x=  \frac k5 \pi

  • sen2x=0

2x= k \pi \Rightarrow x=  \frac k2 \pi

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