Esercizio 13 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

sen x cos 2x = sen 2x cos 3x

Svolgimento

Utilizziamo le formule di werner, che ci dicono che:

sen(\alpha)cos(\beta)=\frac 12 [sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)]

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

\frac 12 [sen(x+2x)+sen(x-2x)]=\frac 12 [sen(2x+3x)+sen(2x-3x)]

Moltiplicando tutto per 2 otteniamo:

sen (3x) sen(-x)=sen (5x)+sen(-x)

sen (5x) - sen(3x)=0

utilizziamo prostaferesi per ottenere:

2cos\frac {5x+3x}{2}sen\frac {5x-3x}{2}=0

da cui avremo:

cos (4x)sen(x)=0

da cui avremo due casi:

  • cos 4x=0

4x= \frac 12  \pi + k \pi \Rightarrow x= \frac 1{8} \pi + \frac k4 \pi

  • senx=0

x= k \pi

 

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