Esercizio 9 Problemi di secondo grado

Problemi di argomento vario

 

  • In una frazione il numeratore supera di 5 il denominatore; trovare la frazione sapendo che diminuendo di 3 ambo i termini della frazione si ottiene una nuova frazione che supera la prima di \frac 5 {36}

N=5+D

\frac {N-3}{D-3}=\frac {N}{D}+\frac {5}{36}

sostituendo a N=5+D otteniamo l’equazione fratta:

\frac{5+D-3}{D-3}=\frac {5+D}{D} +\frac {5}{36}

\frac{D+2}{D-3}=\frac {5+D}{D} +\frac {5}{36}

\frac {36D(D+2)}{36D(D-3)}=\frac {36(D+5)(D-3)+5D(D-3))}{36D(D-3)}

36D^2+72D=36D^2-108D+180D-540+5D^2-15D

36D^2-36D^2-5D^2+72D+108D-180D+15D+540=0

-5D^2+15D+540=0

D^2-3D-108=0

Al solito si può risolvere o come trinomio speciale o come equazione di secondo grado.

Come trinomio speciale, i due numeri la cui somma è -3 e il prodotto è -108 sono -12 e 9. Quindi:

D^2-3D-108=(D-12)(D+9); da cui le soluzioni per il denominatore sono -9 e 12, mentre per il numeratore sarebbero -4 e 17.

Come equazione di secondo grado:

a=1; b=-3; c=-108

D_{\frac 1 2} =\frac {3 \pm \sqrt {9-4(-108)}}{2}

D_{\frac 1 2} =\frac {3 \pm \sqrt {9+432)}}{2}

D_{\frac 1 2} =\frac {3 \pm \sqrt {441}}{2}

D_\frac 1 2 =\frac {3 \pm 21}{2}

D_1 = \frac {3 + 21}{2}=\frac {24}{2}=12

D_2=\frac {3 - 21}{2}=-\frac {18}{2}=-9

Le coppie quindi sono quelle viste sopra

 

 

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