Esercizio 5 asintoti obliqui

y=\sqrt{x^2-9}

Dato che gli asintoti obliqui saranno rette della forma y=mx+q, ricaviamo m e q dai seguenti limiti:

    \[m=\lim_{x \to \pm \infty}\sqrt{x^2-9} \cdot \frac 1x \simeq \lim_{x \to \pm \infty}\frac {\left|x \right|}{x}= \pm 1\]

    \[q=\lim_{x \to \pm \infty}\sqrt {x^2-9} -mx\]

Per svolgere questo limite usiamo un artificio:

\sqrt{x^2-9} - mx=\sqrt{x^2-9} - mx \cdot \frac {\sqrt{x^2-9} + mx}{\sqrt{x^2-9} + mx}=\frac {x^2-9-m^2x^2}{\sqrt{x^2-9} +mx}

Essendo m=\pm 1, otteniamo:

    \[q = \lim_{x \to \pm \infty}\frac {-9}{\sqrt{x^2-9}  \pm x} \simeq 0\]

L’asintoto obliquo sarà:

y=\pm x

 
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