Quesito 4 P.N.I. 2012

L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

 

N e Q sono equipotenti. Infatti di sicuro sappiamo che #N\leq #Q, ma d’altra parte, consideriamo la tabella così costruita:

Tabella

0  1    2    3    4

1  1  1/2  1/3  1/4 …

2  2  2/2  …

3  3  3/2  …

4  4  4/2  …

 

Con il metodo diagonale otteniamo una applicazione suriettiva ma non iniettiva da N in Q. Quindi avremo che:

#N \geq #Q, e quindi l’uguaglianza.

Poichè è noto che i numeri primi sono infiniti, e l’insieme dei numeri primi è contenuto in N, necessariamente

#N=#P,

dove P=\{ p \in N : p \mbox {  primo}\},

in quanto non esiste cardinalità infinita minore di quella del numerabile.
 

 

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