Quesito 9 P.N.I. 2012

Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

 

Per costruire il percorso minimo considero i punti A’ e B’ simmetrici rispetto alla retta r dei punti A e B. Congiungo B’ con A e A’ con B e chiamo P l’intersezione.

Il percorso minimo sarà proprio quello realizzato dalla spezzata AP \cdot PB.

Dimostriamolo prendendo un qualsiasi altro punto P’ sulla retta e vediamo come la spezzata AP’ -P’B sia più lunga di quella passante per P.

Congiungiamo P’ con B’ e avremo quindi:

AP'+P'B=AP'+P'B'

AP+PB=AP+PB'.

Sfruttando la proprietà dei triangoli per cui un lato è sempre minore della somma degli altri due, nel triangolo AP'B', avremo che:

    \[AP'+P'B' > AB'=AP+PB'=AP+PB.\]

 

 

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