Quesito 6 P.N.I. 2012

Si dimostri che la curva di equazione y=x^3+  ax+ b ha uno ed un solo punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.

 

I punti di flesso sono i punti in cui la derivata seconda si annulla:

f(x)=x^3+ax+b

f'(x)=3x^2+a

f''(x)=6x.

Quindi:

f''(x)=0 \iff x=0,

e

f(0)=b.

Quindi f ha un solo punto di flesso in x=0.

Affinchè (x_0;y_0) sia centro di simmetria per f deve accadere che:

y_0=\frac {f(x_0+h)+f(x_0-h)}{2} \quad \forall h.

Nel nostro caso (x_0;y_0)=(0;b), e quindi:

b=\frac {(h^3+ah+b)+(-h^3-ah+b)}{2}=\frac {2b}{2}=b.

 

 
 

 

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