Quesito 5 P.N.I. 2012

Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P3, …. Pn . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?

 

Contare il numero di segmenti che congiungono a due a due n punti equivale a contare il numero di coppie non ordinate in un insieme di n elemento, e tale numero è dato dal binomiale

    \[\binom {n}{2}= \frac {n!}{2!(n-2)!}=\frac {n(n-1)}{2}.\]

Analogamente contare il numero di triangoli o tetraedri equivale all’estrazione rispettivamente di 3 o 4 elementi. Otteniamo quindi che i triangoli e i tetraedri sono:

    \[\binom {n}{3}= \frac {n!}{3!(n-3)!}=\frac {n(n-1)(n-2)}{6}\]

e

    \[\binom {n}{4}= \frac {n!}{4!(n-4)!}=\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\]

 

 

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