Erika scrive: soluzione di un esercizio

Oggetto: soluzione  di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao potresti svolgermi questo esercizio: determinare i minimi e massimi relativi della funzione x^2. la radice 4x+5  e anche della funzione ln(x^2+1) fratti 1+x^2 ti ringrazio!!!

 

Non è molto chiara la traccia, ma cerchiamo di capire la richiesta…

Dovrebbero essere 3 funzioni differenti.

Analizziamo caso per caso:

  • y=x^2

In questo caso, senza bisogno di grossi calcoli, sapendo che questa l’equazione di una parabola, possiamo subito dire che il minimo relativo e anche assoluto è rappresentato dal vertice della parabola stessa ovvero:

m(0;0).

Non avrà invece massimi relativi ne assoluti…

 

  • y=\sqrt {4x+5}

Qui possiamo subito dire che essendo la funzione una radice quadrata, allora ammetterà minimo nel punto in cui questa sarà annullata, mentre non ammetterà massimo in quanto è radice di una funzione lineare, con coefficiente dell’incognita positivo e quindi sempre crescente.

m(-\frac 54;0).

 

  • y= \frac {log(x^2+1)}{1+x^2}

Qui c’è un discorso più complicato, in quanto bisognerà studiare necessariamente la derivata prima. Per fortuna notiamo che il dominio coincide con tutto l’insieme dei numeri reali, e quindi non ci sono limitazioni ne sull’argomento del logaritmo, ne sul denominatore.

y'=\frac {\frac {2x}{x^2+1}(1+x^2)- log(x^2+1)2x}{(1+x^2)^2}

y'=\frac {2x(1- log(x^2+1))}{(1+x^2)^2}

Studiamo la positività della derivata prima:

  • N1: 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0
  • N2: 1-log(x^2+1) \geq 0

log(x^2+1) \leq 1

x^2+1 \leq e

x^2 \leq e-1

-\sqrt {e-1} \leq x \leq \sqrt {e-1}.

  • D: (x^2+1)^2 >0 \quad \quad \forall x \in R.
 -\inf -\sqrt {e-1} \sqrt {e-1}  +\inf
—— —– +++++++ —– ——-

 

Quindi vediamo come questa funzione ammetterà 2 massimi e 1 minimo relativo in:

M1(-\sqrt {e-1};\frac 1e)

M2(\sqrt {e-1};\frac 1e)

m(0:0).

 

 

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