Archivi categoria: Studio di funzione

Ginevra scrive: Matematica

Oggetto: Matematica

Corpo del messaggio:

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Risposta dello staff

f(x)= \begin{cases} 1-e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{x-1}{x+1} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}

Come vediamo il dominio sarà tutto \mathbb{R}, perchè se nel primo tratto escluderemmo lo 0, già escluso cmq, nel secondo tratto escluderemmo x=-1, ma li le x sono considerate solo positive.

Studiamo la positività:

1-e^{\frac 1x} >0

e^{\frac 1x} <1

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Eleonora scrive: Ricerca asintoti e grafico

Oggetto: Ricerca asintoti e grafico

Corpo del messaggio:
Salve,potreste spiegarmi come si effettua la ricerca degli asintoti? Grazie in anticip

y = \frac { 3x (x^2-2x+1)}{x^2 -7x +10}

Risposta dello staff

y = \frac { 3x(x-1)^2}{(x-5)(x-2)}

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Luana scrive: Geometria nel piano euclideo

Oggetto: Geometria nel piano euclideo

Corpo del messaggio:
1. Nel triangolo rettangolo ABC traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Dimostra che i triangoli ABH e ACH sono simili e entrambi sono simili al triangolo dato.

3. Dimostra che la parallela a un lato di un triangolo intersechi i prolungamenti degli altri due lati determina, con il vertice opposto al lato considerato, un triangolo i cui lati sono proporzionali a quelli del triangolo dato.

 

Risposta dello staff

Triangolo

1. Nel triangolo rettangolo iniziale, sapremo che l’angolo in A è retto. Chiamando con \beta l’angolo in B e con \gamma l’angolo in C, possiamo subito affermare che nel triangolo ABH, l’angolo in H è retto per costruzione e, di conseguenza, l’angolo BAH sarà proprio \gamma.

Da ciò ne deriva che il triangolo ABH e ABC sono simili. Come d’altro canto si dimostra similarmente che il triangolo AHC, dove l’angolo in H è retto e l’angolo in A avrà ampiezza uguale a \beta.

triangolo con parallela

3. Sia BDE il triangolo iniziale. Ci serve dimostrare che ABC sia simile a BDE. Senza grossi dubbi, affermiamo subito che gli angoli BED e BCA sono corrispondenti rispetto alle due parallele DE e AC tagliate dalla trasversale BC. Da questo ne conviene che, per differenza di angoli uguali, anche l’angolo BDE è uguale all’angolo BAC. Quindi, i due triangoli sono simili, e i lati dei due triangoli tra loro in proporzione.

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Luca scrive: Esercizio sui limiti

Oggetto: risoluzione esercizio

Corpo del messaggio:
Buongiorno. Non mi viene il risultato dell ‘esercizio. Il risultato dovrebbe essere Zero. Mi potrebbe spiegare passo passo la risoluzione.

 

    \[\lim_{x \to + \infty}  \left(x+1\right)^{\frac 13} - \left(x\right)^{\frac 13}\]

Analizziamolo senza limite:

    \[ \left(x+1\right)^{\frac 13} - \left(x\right)^{\frac 13}= \frac {\left( \left(x+1\right)^{\frac 13} - \left(x\right)^{\frac 13}\right) \left(\left(x+1\right)^{\frac 23} + \left(x(x+1)\right)^{\frac 13}+ x^{\frac 23} \right)}{\left(\left(x+1\right)^{\frac 23} + \left(x(x+1)\right)^{\frac 13}+x ^{\frac 23} \right)}=\]

    \[=\frac {x+1-x}{\left(\left(x+1\right)^{\frac 23} + \left(x(x+1)\right)^{\frac 13}+ x^{\frac 23} \right)}=\frac {1}{\left(\left(x+1\right)^{\frac 23} + \left(x(x+1)\right)^{\frac 13}+x ^{\frac 23} \right)}.\]

Calcolando il limite all’infinito di questa frazione appena calcolata otteniamo facilemente la forma:

    \[\frac {1}{+\infty}=0\]

 

 

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Mario scrive: Esercizio equazione della retta

Oggetto:

Corpo del messaggio:
con una certa urgenza per favore

foto-1-1

 

La formula per trovare l’equazione passante per due punti è:

    \[\frac {y-y_A}{y_B-y_A}=\frac {x-x_A}{x_B-x_A}\]

Sostituendo i valori, otteniamo:

    \[\frac {y-2}{-\frac 32-2}=\frac {x+\frac 12}{4+\frac 12}\]

    \[-2\frac {y-2}{7}=\frac {\frac {2x+1}2}{\frac 92}\]

    \[9(4-2y)=7(2x+1)\]

    \[36-18y=14x+7\]

    \[14x+18y-29=0\]

Per trovare l’ordinata del punto C, basterà sostituire al posto della x il valore dell’ascissa di C:

    \[-14+18y_C-29=0\]

    \[18y_C=43\]

    \[y_C=\frac {43}{18}\]

 

 

 

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Nicolò scrive: Esercizio equazione lineare

Oggetto:

Corpo del messaggio:
con una certa urgenza per favore

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Affinchè non rappresenti una retta, devono essere nulli i coefficienti delle due incognite, quindi:

    \[\begin {cases} k^2+k-2=0 \\ k^2-k=0 \end{cases}\]

    \[\begin {cases} k=1 \quad \lor \quad k=-2 \\ k=0 \quad \lor \quad k=1 \end{cases}\]

Quindi l’unico valore che annulla ambedue i coefficienti è k=1.

Affinchè rappresenti una retta parallela all’asse y basterà annullare il coefficiente della y, e quindi:

    \[k=0\]

e la retta sarebbe:

    \[x=-\frac 12\]

Non prendiamo in considerazione il valore k=1 perchè, come visto primo, renderebbe priva di significato l’equazione.

Affinchè rappresenti una retta passante per P, basterà sostituire al posto delle incognite i valori delle coordinate del punto P e verificarne l’identità:

    \[k^2+k-2+k^2-1=0\]

    \[2k^2+k-3=0\]

    \[k_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+24}}{4}=\frac {-1 \pm 5}{4}\]

da cui:

    \[k_1=-\frac 32\]

e

    \[k_2=1\]

La seconda soluzione ovviamente non sarà accettabile.

 

 

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Anna scrive: Esercizio sulla retta

Oggetto:

Corpo del messaggio:
con una certa urgenza per favore

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Per stabilire se i punti A e B appartengolo alla retta basterà sostituire ai valori delle incognite, le coordinate dei punti e verificarne l’identità:

    \[A: 4+1-5=0 \Rightarrow 0=0 \Rightarrow A \in r\]

    \[B: 2+1-5=0 \Rightarrow -2=0 \Rightarrow B \notin r\]

Per determinare l’ordinata del punto C, di ascissa 1, basterà sostituire al posto della x il valore dell’ascissa di C; stesso discorso per il punto D, ma sostituendo la y:

    \[2+y_C-5=0 \Rightarrow y_C=3\]

    \[2x_D+4-5=0 \Rightarrow x_D=\frac 12\]

 

 

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Elisa scrive: Esercizio sulle funzioni

Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Grazie in anticipo.

Disegnare la funzione y = 2 tg\left(x+\frac {\pi}{4}\right) nell’intervallo-\pi<x<+\pi.

Scrivere il valore dell’arcotangente di -10

Trovare il coseno e la tangente di 120°

 

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Non essendo 10° un angolo noto, calcoliamo l’arcotangente di 10 con la calcolatrice:

    \[arctg(10^\circ)=-0,17279\]

Calcoliamo gli altri due pezzi:

    \[cos(120^\circ)=-\frac 12\]

    \[tg(120^\circ)=-\sqrt 3\]

 

 

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Andrea scrive: Esercizio dominio di una funzione

Oggetto: Funzioni
Corpo del messaggio:

rispondete con una certa urgenza per favore

foto-2 (1)

 

 

Come si vede, f(x) è una funzione irrazionale con radice di indice pari, quindi il dominio sarà formato da tutti i valori della x che rendono positivo il radicando, mentre g(x) è una funzione razionale intera, e quindi sarà verificata \forall x \in R.

Calcoliamo la positività del radicando:

    \[16-x^2\geq 0\]

    \[x^2\leq 16\]

    \[-4 \leq x \leq 4.\]

Avremo quindi:

    \[A=[-4;4] \quad \quad \quad B=R.\]

Ovviamente, intersecando i due, otterremo proprio che C=A.

Per il punto b) dobbiamo notare alcune cose:

  • la funzione f(x) è sempre positiva, tocca l’asse delle ascisse nei punti (-4;0)(4;0), e l’asse delle ordinate in (0;4).
  • la funzione g(x) è anch’essa sempre positiva, ma varrà 0 per x\leq 0 e varrà 2x per x>0.

Quindi f(x) sarà maggiore di g(x) dal punto (-4;0) fino all’altro punto di intersezione, che avrà come ascissa un valore positivo compreso tra 0 e 4.

Calcoliamolo imponendo l’uguaglianza tra le due funzioni, ricordando che, per x positive, g(x)=2x:

    \[\sqrt{16-x^2}=2x\]

    \[16-x^2=4x^2\]

    \[5x^2=16\]

    \[x^2=\frac {16}{5}\]

    \[x=\frac {4}{\sqrt 5}=\frac 45 \sqrt 5\]

Quindi, avremo che:

    \[f(x) \geq g(x) \Rightarrow x \in [-4;\frac45 \sqrt 5].\]

 

 

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Nicolò scrive: Problema con le funzioni

Oggetto: problema con le funzioni

Corpo del messaggio:
considerate quello in fondo alla pagina (l’ ultimo)
grazie

foto-1

 

 

f(x)=\begin{cases} \frac {1}{x+4} \quad \mbox{ se } x \leq -2 \\ x-3 \quad \mbox{ se } x > -2 \end{cases}

a) Calcoliamo i tre valori, considerando l’intervallo corrispondente:

  • f(-4)=\frac {1}{0}. Si capisce che questo valore non fa parte del dominio…
  • f(-2)=\frac{1}{-2+4}=\frac 12
  • f(0)=0-3=-3
  • f(2)=2-3=-1

b) Il dominio, visto che la funzione è formata da una funzione razionale fratta e una razionale intera sarà proprio tutto R escluso il valore che annulla il denominatore, quindi:

D=R- \{ -4\}.

Per il codominio, analizziamo subito che, la seconda funzione ammette come codominio \left(-1; +\infty\right). A questo dovremo unire il codominio della prima funzione.

Senza dover fare grossi calcoli notiamo che, nei suoi intervalli, la funzione \frac {1}{x+4} è decrescente, che f(-5)=-1 e che poco prima di arrivare a -4 assume tutti i valori negativi fino a -\infty.

Quindi il codominio della funzione sarà: \left(-\infty;+\infty\right).

c) Affinchè il punto (3;1) appartenga alla funzione deve verificarsi che f(3)=1; ma come vediamo, f(3)=0, e quindi il punto non appartiene al grafico.F

 

 

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Susy scrive: Esercizio sulle funzioni

Oggetto: Algebra: funzioni

Corpo del messaggio:
Determina il dominio delle funzioni aventi le seguenti equazioni.
Il numero 90 e 91, mi servirebbero entro stasera.
Grazie mille, seguo molto il vostro sito:)

 

image (5)

Risposta dello staff

 

  • y=ax+3

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è rappresentato dall’insieme dei numeri reali.

Per trovare il valore di a basterà sostituire i rispettivi valori delle coordinate del punto P  e risolvere l’equazione:

-3=a+3

da cui

a=-6.

  • f(x)=x^2+ax-\frac 12

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è rappresentato dall’insieme dei numeri reali.

Si sa che f(1)=\frac 52, quindi, sostituendo otterremo:

\frac 52=1+a-\frac 12

a=\frac 52+\frac 12-1

a=2.

 

 

 

 

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Erika scrive: soluzione di un esercizio

Oggetto: soluzione  di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao potresti svolgermi questo esercizio: determinare i minimi e massimi relativi della funzione x^2. la radice 4x+5  e anche della funzione ln(x^2+1) fratti 1+x^2 ti ringrazio!!!

 

Non è molto chiara la traccia, ma cerchiamo di capire la richiesta…

Dovrebbero essere 3 funzioni differenti.

Analizziamo caso per caso:

  • y=x^2

In questo caso, senza bisogno di grossi calcoli, sapendo che questa l’equazione di una parabola, possiamo subito dire che il minimo relativo e anche assoluto è rappresentato dal vertice della parabola stessa ovvero:

m(0;0).

Non avrà invece massimi relativi ne assoluti…

 

  • y=\sqrt {4x+5}

Qui possiamo subito dire che essendo la funzione una radice quadrata, allora ammetterà minimo nel punto in cui questa sarà annullata, mentre non ammetterà massimo in quanto è radice di una funzione lineare, con coefficiente dell’incognita positivo e quindi sempre crescente.

m(-\frac 54;0).

 

  • y= \frac {log(x^2+1)}{1+x^2}

Qui c’è un discorso più complicato, in quanto bisognerà studiare necessariamente la derivata prima. Per fortuna notiamo che il dominio coincide con tutto l’insieme dei numeri reali, e quindi non ci sono limitazioni ne sull’argomento del logaritmo, ne sul denominatore.

y'=\frac {\frac {2x}{x^2+1}(1+x^2)- log(x^2+1)2x}{(1+x^2)^2}

y'=\frac {2x(1- log(x^2+1))}{(1+x^2)^2}

Studiamo la positività della derivata prima:

  • N1: 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0
  • N2: 1-log(x^2+1) \geq 0

log(x^2+1) \leq 1

x^2+1 \leq e

x^2 \leq e-1

-\sqrt {e-1} \leq x \leq \sqrt {e-1}.

  • D: (x^2+1)^2 >0 \quad \quad \forall x \in R.
 -\inf -\sqrt {e-1} \sqrt {e-1}  +\inf
—— —– +++++++ —– ——-

 

Quindi vediamo come questa funzione ammetterà 2 massimi e 1 minimo relativo in:

M1(-\sqrt {e-1};\frac 1e)

M2(\sqrt {e-1};\frac 1e)

m(0:0).

 

 

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Erica scrive: Esercizio massimo e minimo di una funzione

Oggetto: SOLUZIONE DI UN ESERCIZIO
Corpo del messaggio:

CIAO QUESTO ESERCIZIO MI DICE DI TROVARE IL MASSIMO E IL MINIMO RELATIVO DELLA SEGENTE FUNZIONE   x +1 fratto la radice 3 di x-1

 

Risposta dello staff

y=\frac {x+1}{\sqrt[3]{x-1}}

Innanzitutto il dominio sarà:

D=R- \{1\}.

Risolviamo la derivata prima:

y'=\frac {\sqrt[3]{x-1}- (x+1) \frac {1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}

y'=\frac { \frac {x-1-x-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}

y'=\frac {-2}{3\sqrt[3]{(x-1)^2} \sqrt[3]{(x-1)^2}}

y'=\frac {-2}{3(x-1)\sqrt[3]{x-1} }.

 

Come si vede, la derivata prima non si annulla mai…

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Alessandra scrive: Esercizio

Una studentessa scrive:

1369304728929

 

 

Risposta dello staff

La traccia non è chiara.

Immaginando si voglia discutere la positività della funzione abbiamo

\frac{3x-1}{x+7}>0

Studiamo separatamente il numeratore e denominatore

N. 3x-1>0 da cui x>\frac13

D. x+7>0 da cui x>-7

 

-7 \frac13
—– —– —— —— ++++
—– —– ++++ ++++ ++++
++++ +++++ —- —– ++++

 

Quindi la funzione

\frac{3x-1}{x+7}

sarà positiva per

x<-7 e x>\frac13

 

 

 

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