Ginevra scrive: Matematica

Pubblicato il 22 Settembre 201522 Settembre 2015 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Matematica

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Risposta dello staff

$f(x)= \begin{cases} 1-e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{x-1}{x+1} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}$

Come vediamo il dominio sarà tutto $\mathbb{R}$ , perchè se nel primo tratto escluderemmo lo 0, già escluso cmq, nel secondo tratto escluderemmo $x=-1$ , ma li le x sono considerate solo positive.

Studiamo la positività:

$1-e^{\frac 1x} >0$

$e^{\frac 1x} <1$

$\frac 1x<0$

$x<0$

Quindi, nel primo tratto è sempre positiva.

$\frac{x-1}{x+1} >0$

$x<-1 \quad \lor \quad x>1$

Quindi, mettendo a sistema con tutta la funzione otteniamo che:

$f(x)>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>1$

$f(x)=0 \iff x=1$

$f(x)<0 \iff 0<x<1$

Studiamo i limiti agli estremi:

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=0$

$\lim_{x \to 0^-} f(x)=1$

$\lim_{x \to 0^+} f(x)=-1$

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$

Quindi avremo due asintoti orizzontali, e notiamo che la funzione in 0 non è continua.

Studiamo ora la derivata prima:

$f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^2}e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}$

$f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^2}e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{2}{(x+1)^2} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}$

Quindi, la funzione, nei due singoli intervalli, è sempre crescente.

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