Andrea scrive: Esercizio dominio di una funzione

Oggetto: Funzioni
Corpo del messaggio:

rispondete con una certa urgenza per favore

foto-2 (1)

 

 

Come si vede, f(x) è una funzione irrazionale con radice di indice pari, quindi il dominio sarà formato da tutti i valori della x che rendono positivo il radicando, mentre g(x) è una funzione razionale intera, e quindi sarà verificata \forall x \in R.

Calcoliamo la positività del radicando:

    \[16-x^2\geq 0\]

    \[x^2\leq 16\]

    \[-4 \leq x \leq 4.\]

Avremo quindi:

    \[A=[-4;4] \quad \quad \quad B=R.\]

Ovviamente, intersecando i due, otterremo proprio che C=A.

Per il punto b) dobbiamo notare alcune cose:

  • la funzione f(x) è sempre positiva, tocca l’asse delle ascisse nei punti (-4;0)(4;0), e l’asse delle ordinate in (0;4).
  • la funzione g(x) è anch’essa sempre positiva, ma varrà 0 per x\leq 0 e varrà 2x per x>0.

Quindi f(x) sarà maggiore di g(x) dal punto (-4;0) fino all’altro punto di intersezione, che avrà come ascissa un valore positivo compreso tra 0 e 4.

Calcoliamolo imponendo l’uguaglianza tra le due funzioni, ricordando che, per x positive, g(x)=2x:

    \[\sqrt{16-x^2}=2x\]

    \[16-x^2=4x^2\]

    \[5x^2=16\]

    \[x^2=\frac {16}{5}\]

    \[x=\frac {4}{\sqrt 5}=\frac 45 \sqrt 5\]

Quindi, avremo che:

    \[f(x) \geq g(x) \Rightarrow x \in [-4;\frac45 \sqrt 5].\]

 

 

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