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Alessia scrive: Funzioni inverse e composizioni

Oggetto: Funzioni inverse e composizioni

Corpo del messaggio:
1- f(x)=1/6(x^3-2)^1/5 trova la funzione inversa
2-f(x)=4x^4+7x+9 g(x)=√(3x-7). (Tutto sotto radice). Determina la funzione f/g e il suo dominio
3- dati f(x)=3x^2 g(x)=x+8 h(x)=6/x determina f(g(x)) e f(g(h(x)))
4- dati f(x)=2x^3 g e g(x)=√(x-6) (tutto sotto radice), determina f+g e il suo dominio 🙂
Questi sono gli esercizi mi potete aiutare per favore? 🙂 grazie mille

 

Risposta dello staff

1)

y=\frac{1}{6( x^3-2)^{\frac 15}}

y^5=\frac{1}{6^5( x^3-2)}

\frac {1}{y^5}=6^5( x^3-2)

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Gemma scrive: grafico funzione fondamentale e modulo

Oggetto: grafico funzione fondamentale e modulo

Corpo del messaggio:
Mi è chiesto di fare il grafico di y=|tgx|-3.
Io ho capito come fare i grafici quando il modulo è presente in tutto la seconda parte dell’equazione, ma se -3 è fuori che cosa cambia?? Anche ad esempio y=2|sen2πx|?

Risposta dello staff

Questo è il grafico di tg(x):

Rendered by QuickLaTeX.com

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Anna scrive: Risoluzione di limiti di funzione

Calcolare i limiti per x che tende a 0 e a infinito di xe^1/x -x

Analizziamone uno alla volta:

    \[\lim_{x \to 0} xe^{\frac 1x}-x=\infty\]

Senza fare grossi calcoli, notando che e^{\frac 1x} \to \infty per x \to 0, e quindi, a prescindere dalla presenza del polinomio, questo limite tenderà ad infinito. Il segno dipenderà dal segno dello 0.

    \[\lim_{x \to \infty} xe^{\frac 1x}-x=\lim_{x \to \infty} x\left( e^{\frac 1x} -1\right)\]

Ora, ricordando il limite notevole:

    \[\lim_{t \to 0} \left( e^{t} -1\right)=t\]

allora avremo che:

    \[\lim_{x \to \infty} x\left( e^{\frac 1x} -1\right)=\lim_{x \to \infty} x\cdot {\frac 1x}=1\]

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Sofia scrive: Dominio funzione a 2 variabili

Oggetto: dominio funzione a 2 variabili

Corpo del messaggio:

    \[f(x,y)=\frac {log(y-cosx)}{4-y^2}  +log\left [x\left(2 \pi-x \right) \right]\]

2014-02-13-16.48.35

 

Risposta dello staff

 

Per studiare il dominio dobbiamo considerare tutti i fattori che formano la funzione, quindi:

    \[\begin{cases} y-cosx >0 \\ 4-y^2 \neq 0 \\ x(2\pi-x) >0\end{cases}\]

Analizziamo caso per caso:

y-cosx>0 \rightarrow y>cosx

4-y^2 \neq 0 \rightarrow y^2 \neq 4 \rightarrow y \neq \pm2

x(2\pi-x) >0 \rightarrow x(x-2\pi)<0 \rightarrow 0<x<2pi

Il sistema diventa quindi:

    \[\begin{cases} y>cosx \\ y \neq \pm 2 \\ 0<x<2\pi\end{cases}\]

Dalla prima notiamo che y >-1;  per y\geq 1 non ci sono mai problemi, eccetto y=2.

Dom(f)=  \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \, \mbox { t.c. } y> cosx \wedge 0<x<2 \pi \wedge y >- 1 \wedge y \neq 2\}

 

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Eleonora scrive: Equazione

Corpo del messaggio:
Potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi?Grazie in anticipo^^

Determina le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni …

IMG-20140207-WA0000

 

Risposta dello staff

y = \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a \infty.

In questo caso il dominio della funzione sarà:

D= \mathbb{R}- \{  \pm 1\}

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette x= \pm 1.

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

    \[\lim_{x \to - 1} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {6}{0}= \infty\]

    \[\lim_{x \to 1} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {4}{0}= \infty\]

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo subito affermare che ammetterà asintoto orizzontale:

    \[\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^2(1-\frac {x}{4x^2}+\frac {1}{4x^2}}{x^2(1-\frac {1}{x^2}}= 4\]

Quindi y=4 sarà l’asintoto orizzontale di questa funzione.

 

y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a \infty.

In questo caso il dominio della funzione sarà:

D= \mathbb{R}- \{  \pm 2\}

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette x= \pm 2.

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

    \[\lim_{x \to - 2} \frac  {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {-33}{0}= \infty\]

    \[\lim_{x \to 2} \frac  {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {31}{0}= \infty\]

Essendo il grado del numeratore superiore di uno rispetto al grado del denominatore, possiamo subito affermare che non ammetterà asintoto orizzontale, e che potrà esserci asintoto obliquo, di equazione y=mx+q. Calcoliamo m e q:

    \[m=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^2-4} \cdot \frac 1x=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^3-4x}= 4\]

    \[q=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^2-4} -4x=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}= 0\]

Quindi y=4x sarà l’asintoto obliquo di questa funzione.

 

 

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Andrea scrive: Esercizio dominio di una funzione

Oggetto: Funzioni
Corpo del messaggio:

rispondete con una certa urgenza per favore

foto-2 (1)

 

 

Come si vede, f(x) è una funzione irrazionale con radice di indice pari, quindi il dominio sarà formato da tutti i valori della x che rendono positivo il radicando, mentre g(x) è una funzione razionale intera, e quindi sarà verificata \forall x \in R.

Calcoliamo la positività del radicando:

    \[16-x^2\geq 0\]

    \[x^2\leq 16\]

    \[-4 \leq x \leq 4.\]

Avremo quindi:

    \[A=[-4;4] \quad \quad \quad B=R.\]

Ovviamente, intersecando i due, otterremo proprio che C=A.

Per il punto b) dobbiamo notare alcune cose:

  • la funzione f(x) è sempre positiva, tocca l’asse delle ascisse nei punti (-4;0)(4;0), e l’asse delle ordinate in (0;4).
  • la funzione g(x) è anch’essa sempre positiva, ma varrà 0 per x\leq 0 e varrà 2x per x>0.

Quindi f(x) sarà maggiore di g(x) dal punto (-4;0) fino all’altro punto di intersezione, che avrà come ascissa un valore positivo compreso tra 0 e 4.

Calcoliamolo imponendo l’uguaglianza tra le due funzioni, ricordando che, per x positive, g(x)=2x:

    \[\sqrt{16-x^2}=2x\]

    \[16-x^2=4x^2\]

    \[5x^2=16\]

    \[x^2=\frac {16}{5}\]

    \[x=\frac {4}{\sqrt 5}=\frac 45 \sqrt 5\]

Quindi, avremo che:

    \[f(x) \geq g(x) \Rightarrow x \in [-4;\frac45 \sqrt 5].\]

 

 

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Nicolò scrive: Esercizio funzione invertibile

Oggetto: Dominio

Corpo del messaggio:
foto-1

 

Riscriviamo meglio:

    \[f(x)=\frac {2+x-1}{x-1}=\frac {x+1}{x-1}\]

  • Questo è il caso di una funzione omografica, quindi, come dominio avremo:

    \[D=R- \{ 1\}\]

    \[Cod=R- \{1\}\]

  • Essendo una funzioe omografica questa è sicuramente bigettiva, e quindi invertibile, e calcoliamo passo per passo la sua inversa:

y=\frac {x+1}{x-1}

yx-y=x+1

yx-y=y+1

x(y-1)=y+1

x=\frac {y+1}{y-1}

  • Per calcolare immagini e controimmagini basterà sostituire i valori all’incognita e calcolare:

f(2)=\frac {2+1}{2-1}=3

f^{-1}(3)=\frac {3+1}{3-1}=2

f^{-1}(-6)=\frac {-6+1}{-6-1}=\frac 57

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Nicolò scrive: Esercizio dominio di una funzione

Oggetto: dominio di una funzione

Corpo del messaggio:
con una certa urgenza per favore…grazie

 

photo

 

 

Supponendo sia la 118, risolviamo:

y=\sqrt {x-\sqrt{2x+3}}

Avremo quindi, essendo una funzione irrazionale:

\begin{cases} 2x+3 \geq 0 \\ x-\sqrt {2x+3} \geq 0\end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 32 \\ \sqrt {2x+3} \leq x\end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 32 \\ x \geq 0 \\ 2x+3 \leq x^2\end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 32 \\ x \geq 0 \\ x^2-2x-3 \geq 0\end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 32 \\ x \geq 0 \\ (x-3)(x+1) \geq 0\end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 32 \\ x \geq 0 \\ x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 3\end{cases}

Mettendo tutto a sistema otterremo come soluzione:

x \geq 3.

 

 

 

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Mariella scrive: Esercizio dominio di una funzione

Oggetto: Dominio di una funzione

Corpo del messaggio:

 

foto

 

 

Questa funzione è la somma di una funzione irrazionale e una funzione razionale fratta,  quindi il dominio sarà dato da tutto R esclusi alcuni valori dati da:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{cases} 5-x \geq 0  \\ x^2-1 \neq 0 \end{\cases}

*** Error message:
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leading text: ...s} 5-x \geq 0  \\ x^2-1 \neq 0 \end{\cases}
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leading text: ...s} 5-x \geq 0  \\ x^2-1 \neq 0 \end{\cases}
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leading text: ...s} 5-x \geq 0  \\ x^2-1 \neq 0 \end{\cases}

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{cases} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}

*** Error message:
Missing \endcsname inserted.
leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
Missing \endcsname inserted.
leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
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leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
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leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
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leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
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leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
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leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}
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leading text: ...ses} x \leq 5  \\ x \neq \pm 1 \end{\cases}

Mettendo tutto insieme otteniamo che il dominio sarà:

x < -1 \quad \lor \quad -1<x<1 \quad \lor \quad 1<x\leq 5.

 

 

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Susy scrive: Esercizio sulle funzioni

Oggetto: Algebra: funzioni

Corpo del messaggio:
Determina il dominio delle funzioni aventi le seguenti equazioni.
Il numero 90 e 91, mi servirebbero entro stasera.
Grazie mille, seguo molto il vostro sito:)

 

image (5)

Risposta dello staff

 

  • y=ax+3

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è rappresentato dall’insieme dei numeri reali.

Per trovare il valore di a basterà sostituire i rispettivi valori delle coordinate del punto P  e risolvere l’equazione:

-3=a+3

da cui

a=-6.

  • f(x)=x^2+ax-\frac 12

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è rappresentato dall’insieme dei numeri reali.

Si sa che f(1)=\frac 52, quindi, sostituendo otterremo:

\frac 52=1+a-\frac 12

a=\frac 52+\frac 12-1

a=2.

 

 

 

 

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Maria scrive: Esercizio integrale

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:

\int x \cdot sin^2 x \mathrm{d}x

Svolgimento

 

Questo integrale va svolto per parti, ricordando la formula:

\int f'(x)g(x) \mathrm {d}x = f(x)g(x) - \int f(x) g'(x) \mathrm{d} x

 

Poniamo:

g(x)=x così da avere

g'(x)=1.

f'(x)=sen^2x

da cui segue l’integrale  (non svolgo tutti i calcoli, ma se necessario chiedi pure)

f(x)=\frac 12 (x-senxcosx).

Avremo quindi:

\int x \cdot sin^2 x \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) -\int \frac 12 (x-senxcosx) \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) -\int \frac 12 x\mathrm{d}x +\int \frac 12 senxcosx \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) -\frac 12 \frac {x^2}{2} +\int \frac 12 \frac 12 sen(2x) \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} +\frac 14\int sen(2x) \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} +\frac 14 (-\frac 12 cos(2x))=

\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} -\frac 18 cos(2x)=

\frac {4x^2-4xsenxcosx-2x^2-cos2x}{8}=

\frac {2x^2-4xsenxcosx-cos2x}{8}.

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Stefania chiede: Esercizio domini

Una studentessa chiede:

Dai la definizione di Dominio o Campo di esistenza di una funzione y:f(x) e determinalo per la seguente funzione, e rappresentalo sul piano cartesiano:

y=\sqrt[4]{\frac {-x^2+4}{x+9}}

 

Risposta dello staff

Per la definizione andare su questo link:

http://www.matebook.it/analisi/funzioni/studio-di-funzioni/dominio-di-una-funzione

Per determinare il dominio di questa funzione, basterà imporre la positività del radicando, in quanto dobbiamo prendere in considerazione tutti i valori dell’incognita per i quali è possibile calcolare la radice quarta. Avremo quindi:

\frac {-x^2+4}{x+9} \geq 0

  • N\geq 0

-x^2+4 \geq 0

x^2-4 \leq 0

Essendo una disequazione di secondo grado minore di zero, le soluzioni saranno rappresentate dai valori interni alle soluzioni dell’equazione associata, quindi:

-2\leq x \leq 2.

  • D >0

x+9 >0

x> -9.

(-\infty; -9) (-9;-2) [-2;2] (2;+\infty)
N\geq 0 —- —- +++ —-
D>0 —- +++ +++ +++
Risultato +++ —- +++ —-

Dal risultato del grafico intuiamo subito che il dominio sarà:

D= (-\infty;9) \quad \cup \quad [-2;2].

 

 

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Stefania chiede: Esercizio asintoti

Una studentessa scrive:

Quando è necessario verificare l’esistenza dell’asintoto obliquo? Determinare l’equazione dell’asintoto obliquo per la seguente funzione:

y= \frac {5x^3-2x}{x^2-1}.

 

Risposta dello staff

Allora, affinchè esistano asintoti obliqui è NECESSARIO che non esistano gli asintoti orizzontali, ovvero che la funzione, all’infinito, tenda ad infinito:

y=\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty

e poi dovranno esistere mq tali che esistano e siano finiti i due limiti:

m=\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)}{x} e

q=\lim_{x \to \infty} f(x)-mx.

Si ha subito, a prescindere dal segno, che:

y=\lim_{x \to \infty} \frac {5x^3-2x}{x^2-1}= \lim_{x \to \infty} \frac {x^3(5-2\frac {1}{x^2}}{x^2(1-\frac {1}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac {5x^3}{x^2}=5\lim_{x \to \infty} x=\infty.

Quindi proviamo a calcolare m:

m=\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac {5x^3-2x}{x^2-1} \frac 1x =\lim_{x \to \infty} \frac {x^3(5-2\frac {1}{x^2}}{x^3(1-\frac {1}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac {5x^3}{x^3}=5.

Proviamo ora a calcolare q:

q=\lim_{x \to \infty} f(x)-mx=\lim_{x \to \infty} \frac {5x^3-2x}{x^2-1}-5x=\lim_{x \to \infty} \frac {5x^3-2x-5x^3+5x}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac {3x}{x^2-1}=0,

perchè il denominatore è di grado superiore al numeratore.

Quindi l’asintoto obliquo sarà unico e avrà equazione:

y=5x.

 

 

 

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Prime equazioni trigonometriche

Oggi abbiamo aggiunto nuovi esercizi svolti

Argomento sono le funzioni trigonometriche

Di seguito i link

A presto per nuovi esercizi

 

Lo staff di Matebook

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