Eleonora scrive: Equazione

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Potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi?Grazie in anticipo^^

Determina le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni …

Risposta dello staff

$y = \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}$

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a $\infty$ .

In questo caso il dominio della funzione sarà:

$D= \mathbb{R}- \{ \pm 1\}$

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette $x= \pm 1$ .

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

$\lim_{x \to - 1} \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {6}{0}= \infty$

$\lim_{x \to 1} \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {4}{0}= \infty$

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo subito affermare che ammetterà asintoto orizzontale:

$\lim_{x \to \infty} \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac {4x^2(1-\frac {x}{4x^2}+\frac {1}{4x^2}}{x^2(1-\frac {1}{x^2}}= 4$

Quindi $y=4$ sarà l’asintoto orizzontale di questa funzione.

$y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}$

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a $\infty$ .

In questo caso il dominio della funzione sarà:

$D= \mathbb{R}- \{ \pm 2\}$

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette $x= \pm 2$ .

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

$\lim_{x \to - 2} \frac {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {-33}{0}= \infty$

$\lim_{x \to 2} \frac {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {31}{0}= \infty$

Essendo il grado del numeratore superiore di uno rispetto al grado del denominatore, possiamo subito affermare che non ammetterà asintoto orizzontale, e che potrà esserci asintoto obliquo, di equazione $y=mx+q$ . Calcoliamo m e q:

$m=\lim_{x \to \infty} \frac {4x^3-1}{x^2-4} \cdot \frac 1x=\lim_{x \to \infty} \frac {4x^3-1}{x^3-4x}= 4$

$q=\lim_{x \to \infty} \frac {4x^3-1}{x^2-4} -4x=\lim_{x \to \infty} \frac {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}= 0$

Quindi $y=4x$ sarà l’asintoto obliquo di questa funzione.

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