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Francesca scrive: funzioni

Oggetto: funzioni

Corpo del messaggio:
Date le funzioni y=f(x)=5x-4 e y=g(x)=(2/3)x determina il valore di x per cui le due funzioni hanno la stessa immagine.

Non so come si deve risolvere: grafico? O semplicemente per tentativi?

Risposta dello staff

Ne col grafico, ne per tentativi.

Semplicemente, quando si dice che due funzioni hanno la stessa immagine, vuol dire che per un determinato valore di x, le due funzioni assumono lo stesso valore. In parole povere bisognerà vedere dove:

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Sabino scrive: Massimi e minimi

Oggetto:

Corpo del messaggio:
2x^3-9x^2+12x
Calcola: Massimi e minimi ; Campo di esistenza e limiti relativi agli estremi ; Intersezioni con gli assi cartesiani
(tutte cose che in classe so fare e da sola sembrano arabo)

Risposta dello staff

 

y=2x^3-9x^2+12x

Il campo di esistenza ovviamente è tutto \mathbb{R}, essendo questa una funzione razionale intera.

Essendo intera, saranno facili anche i limiti agli estremi, e quindi:

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Betty scrive: esiste questa funzione?

Oggetto: esiste questa funzione?

Corpo del messaggio:
salve, sto cercando un a f(x) tale che:

=> sia proporzionale a x

=> per x=0  ->  f(x)=k (una costante)

=> per x=m  ->  f(x)=1
grazie1000 per la risposta :o)

 

Risposta dello staff

Essendo proporzionale a x, e dalle richieste date la funzione sarà del tipo:

y=\frac {x(1-k)}{m}+k

 

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Francesca scrive: Aiuto con studio di funzione a tratti

Oggetto: Aiuto con studio di funzione a tratti

Corpo del messaggio:
Ciao! Mi aiutereste a risolvere questo studio di funzione definita a tratti? Sono bloccata in un punto e avrei bisogno di sciogliere alcuni dubbi.
La funzione in questione è f(t) { log(t+1) + 2   t>0  e t^2 + 3 t<= 0
Ho trovato un punto angoloso e due punti esclusi ma non sono sicura. Non sono riuscita a fare lo studio del segno delle due funzioni secondarie, ne le intersezioni con gli assi. Non sono sicura dei passaggi che ho già fatto.
Potrei mostrarmi i passaggi così posso capire come svolgere questa tipologia di esercizio? Grazie…

Risposta dello staff

Sia

f(t)=\begin{cases} log(t+1)+2 \qquad t>0 \\ t^2+3 \qquad t \leq 0 \end{cases}

il dominio è ovviamente tutto \mathbb{R}, poiche l’unica condizione sarebbe:

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Livio scrive: Studio di funzione

Oggetto:

Corpo del messaggio:
Sia f(x)=x-(radice di (x+1))
f è strettamente positiva nell’insieme;
f è strettamente crescente nell’insieme;
f è convessa (verso l’alto) nell’insieme;
la tangente di f nel punto (3,f(3)) ha equazione?

image1

Tenere conto che “a” dipende dal numero di matricola nel mio caso è 1 quindi l’esercizio è f(x)=x-(radice di (x+1))! Scusate per l’italiano ke ho difficoltà! 🙂

 

Risposta dello staff

Studiamo velocemente i pezzi:

f(x)=x-\sqrt{x+1}

Il dominio sarà \left[-1;+\infty \right)

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Clara scrive: Studio di una funzione

Oggetto: Studio di una funzione

Corpo del messaggio:

y=log \frac {x-2}{2}

 

Risposta dello staff

 

  • Insieme di definizione

\frac {x-2}{2} >0

x >2

    \[D= ]2;+\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-log\frac {x-2}{2}

f(-x)=log\frac {-x-2}{2}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} y=0 \\ log \frac {x-2}{2}=0 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ \frac {x-2}{2}=1 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x=4 \end{cases}

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

\left (4;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

log \frac {x-2}{2} \geq0

\frac {x-2} {2} \geq 1

x-2  \geq 2

x  \geq 4

f(x) <0 \quad \mbox{ per } \quad 2<x<4

f(x)=0 \quad \mbox{ per } \quad x=4

f(x) >0 \quad \mbox{ per } \quad x>4

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow + \infty} f(x)= +\infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 2^+} f(x)= -\infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto verticale in x=2.

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {2}{x-2}

y' \geq 0

\frac{2}{x-2} \geq0

Visto che questa disequazione è verificata per ogni valore dell’incognita nel dominio, la funzione sarà sempre crescente. Non avrà massimi e minimi relativi.

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {-2}{(x-2)^2}

y''\geq 0

\frac {-2}{(x-2)^2} \geq0

Visto che questa disequazione non è mai verificata per i valori dell’incognita nel dominio, la funzione avrà sempre concavità rivolta verso il basso. Non avrà punti di flesso.

 

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Sofia scrive: Dominio funzione a 2 variabili

Oggetto: dominio funzione a 2 variabili

Corpo del messaggio:

    \[f(x,y)=\frac {log(y-cosx)}{4-y^2}  +log\left [x\left(2 \pi-x \right) \right]\]

2014-02-13-16.48.35

 

Risposta dello staff

 

Per studiare il dominio dobbiamo considerare tutti i fattori che formano la funzione, quindi:

    \[\begin{cases} y-cosx >0 \\ 4-y^2 \neq 0 \\ x(2\pi-x) >0\end{cases}\]

Analizziamo caso per caso:

y-cosx>0 \rightarrow y>cosx

4-y^2 \neq 0 \rightarrow y^2 \neq 4 \rightarrow y \neq \pm2

x(2\pi-x) >0 \rightarrow x(x-2\pi)<0 \rightarrow 0<x<2pi

Il sistema diventa quindi:

    \[\begin{cases} y>cosx \\ y \neq \pm 2 \\ 0<x<2\pi\end{cases}\]

Dalla prima notiamo che y >-1;  per y\geq 1 non ci sono mai problemi, eccetto y=2.

Dom(f)=  \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \, \mbox { t.c. } y> cosx \wedge 0<x<2 \pi \wedge y >- 1 \wedge y \neq 2\}

 

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Fabio scrive: Formula

Oggetto: Permutazioni

Corpo del messaggio:
Esiste una formula per le permutazioni circolari con ripetizione?

Risposta dello staff

Si, esiste… Bisogna solo stare attenti nell’utilizzarla.

Partiamo con la formula generale delle permutazioni con ripetizione.

Per calcolare il numero di permutazioni di n elementi, con un elemento che si ripete x volte, un altro che si ripete y volte e via dicendo, dovremo fare questa divisione:

    \[P^{x,y,z,\ldots}_n= \frac {n!}{x!\cdot y! \cdot z! \cdot \ldots}\]

dove x+y+z+\ldots \leq n, per ovvi motivi!!!

Esempio banale:

Abbiamo 6 scatole, di cui rispettivamente 3 scatole uguali e 2 uguali tra di loro. Quante sono le permutazioni con ripetizione?

    \[P^{3,2}_6= \frac {6!}{2!\cdot 3!}=\frac {6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)}=60\]

 

Il fatto di essere circolari, fa si che questo totale debba essere nuovamente diviso per n, ovvero il numer di volte che si ripeterebbe la stessa permutazione circolarmente.

Spero di esser stato chiaro, ma magari con qualche esempio rende di più la formula.

 

 

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Eleonora scrive: Equazione

Corpo del messaggio:
Potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi?Grazie in anticipo^^

Determina le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni …

IMG-20140207-WA0000

 

Risposta dello staff

y = \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a \infty.

In questo caso il dominio della funzione sarà:

D= \mathbb{R}- \{  \pm 1\}

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette x= \pm 1.

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

    \[\lim_{x \to - 1} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {6}{0}= \infty\]

    \[\lim_{x \to 1} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {4}{0}= \infty\]

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo subito affermare che ammetterà asintoto orizzontale:

    \[\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^2(1-\frac {x}{4x^2}+\frac {1}{4x^2}}{x^2(1-\frac {1}{x^2}}= 4\]

Quindi y=4 sarà l’asintoto orizzontale di questa funzione.

 

y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a \infty.

In questo caso il dominio della funzione sarà:

D= \mathbb{R}- \{  \pm 2\}

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette x= \pm 2.

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

    \[\lim_{x \to - 2} \frac  {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {-33}{0}= \infty\]

    \[\lim_{x \to 2} \frac  {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {31}{0}= \infty\]

Essendo il grado del numeratore superiore di uno rispetto al grado del denominatore, possiamo subito affermare che non ammetterà asintoto orizzontale, e che potrà esserci asintoto obliquo, di equazione y=mx+q. Calcoliamo m e q:

    \[m=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^2-4} \cdot \frac 1x=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^3-4x}= 4\]

    \[q=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^2-4} -4x=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}= 0\]

Quindi y=4x sarà l’asintoto obliquo di questa funzione.

 

 

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Elisa scrive: Esercizio sulle funzioni

Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Grazie in anticipo.

Disegnare la funzione y = 2 tg\left(x+\frac {\pi}{4}\right) nell’intervallo-\pi<x<+\pi.

Scrivere il valore dell’arcotangente di -10

Trovare il coseno e la tangente di 120°

 

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Non essendo 10° un angolo noto, calcoliamo l’arcotangente di 10 con la calcolatrice:

    \[arctg(10^\circ)=-0,17279\]

Calcoliamo gli altri due pezzi:

    \[cos(120^\circ)=-\frac 12\]

    \[tg(120^\circ)=-\sqrt 3\]

 

 

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Nicolò scrive: Problema con le funzioni

Oggetto: problema con le funzioni

Corpo del messaggio:
considerate quello in fondo alla pagina (l’ ultimo)
grazie

foto-1

 

 

f(x)=\begin{cases} \frac {1}{x+4} \quad \mbox{ se } x \leq -2 \\ x-3 \quad \mbox{ se } x > -2 \end{cases}

a) Calcoliamo i tre valori, considerando l’intervallo corrispondente:

  • f(-4)=\frac {1}{0}. Si capisce che questo valore non fa parte del dominio…
  • f(-2)=\frac{1}{-2+4}=\frac 12
  • f(0)=0-3=-3
  • f(2)=2-3=-1

b) Il dominio, visto che la funzione è formata da una funzione razionale fratta e una razionale intera sarà proprio tutto R escluso il valore che annulla il denominatore, quindi:

D=R- \{ -4\}.

Per il codominio, analizziamo subito che, la seconda funzione ammette come codominio \left(-1; +\infty\right). A questo dovremo unire il codominio della prima funzione.

Senza dover fare grossi calcoli notiamo che, nei suoi intervalli, la funzione \frac {1}{x+4} è decrescente, che f(-5)=-1 e che poco prima di arrivare a -4 assume tutti i valori negativi fino a -\infty.

Quindi il codominio della funzione sarà: \left(-\infty;+\infty\right).

c) Affinchè il punto (3;1) appartenga alla funzione deve verificarsi che f(3)=1; ma come vediamo, f(3)=0, e quindi il punto non appartiene al grafico.F

 

 

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Erika scrive: soluzione di un esercizio

Oggetto: soluzione  di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao potresti svolgermi questo esercizio: determinare i minimi e massimi relativi della funzione x^2. la radice 4x+5  e anche della funzione ln(x^2+1) fratti 1+x^2 ti ringrazio!!!

 

Non è molto chiara la traccia, ma cerchiamo di capire la richiesta…

Dovrebbero essere 3 funzioni differenti.

Analizziamo caso per caso:

  • y=x^2

In questo caso, senza bisogno di grossi calcoli, sapendo che questa l’equazione di una parabola, possiamo subito dire che il minimo relativo e anche assoluto è rappresentato dal vertice della parabola stessa ovvero:

m(0;0).

Non avrà invece massimi relativi ne assoluti…

 

  • y=\sqrt {4x+5}

Qui possiamo subito dire che essendo la funzione una radice quadrata, allora ammetterà minimo nel punto in cui questa sarà annullata, mentre non ammetterà massimo in quanto è radice di una funzione lineare, con coefficiente dell’incognita positivo e quindi sempre crescente.

m(-\frac 54;0).

 

  • y= \frac {log(x^2+1)}{1+x^2}

Qui c’è un discorso più complicato, in quanto bisognerà studiare necessariamente la derivata prima. Per fortuna notiamo che il dominio coincide con tutto l’insieme dei numeri reali, e quindi non ci sono limitazioni ne sull’argomento del logaritmo, ne sul denominatore.

y'=\frac {\frac {2x}{x^2+1}(1+x^2)- log(x^2+1)2x}{(1+x^2)^2}

y'=\frac {2x(1- log(x^2+1))}{(1+x^2)^2}

Studiamo la positività della derivata prima:

  • N1: 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0
  • N2: 1-log(x^2+1) \geq 0

log(x^2+1) \leq 1

x^2+1 \leq e

x^2 \leq e-1

-\sqrt {e-1} \leq x \leq \sqrt {e-1}.

  • D: (x^2+1)^2 >0 \quad \quad \forall x \in R.
 -\inf -\sqrt {e-1} \sqrt {e-1}  +\inf
—— —– +++++++ —– ——-

 

Quindi vediamo come questa funzione ammetterà 2 massimi e 1 minimo relativo in:

M1(-\sqrt {e-1};\frac 1e)

M2(\sqrt {e-1};\frac 1e)

m(0:0).

 

 

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Nicola scrive: Esercizio integrale fratto

Corpo del messaggio:
ciao questo e l’esercizio:  integrale di dx fratto  la radice di e ^2x+2e^x .
mandami la soluzione alla mia email.

 

Risposta dello staff

\int \frac {dx}{e^{2x}+2e^x}

Imponiamo la sostituzione:

e^x=t

e^x \, dx = dt

dx= \frac {dt}{t}

Sostituendo nell’integrale iniziale otteniamo:

 

\int \frac {\frac {dt}{t}}{t^2+2t}=

\int \frac {dt}{t^2(t+2)}

Utilizziamo il criterio di integrazione per le funzioni razionali:

\frac  {1}{t^2(t+2)}=\frac {At+B}{t^2}+ \frac {C}{t+2}=\frac {At^2+2At+Bt+2B+Ct^2}{t^2(t+2)}=\frac {t^2(A+C)+t(2A+B)+2B}{t^2(t+2)}

\begin{cases} A+C=0 \\ 2A+B = 0 \\ 2B=1\end{cases}

\begin{cases} C=\frac 14 \\ A = -\frac 14 \\ B= \frac 12\end{cases}.

Quindi l’integrale diventerà:

\int \frac {-\frac 14 t + \frac 12}{t^2} \, dt + \int \frac {\frac 14}{t+2} \, dt=

\int \frac {-t+2}{4t^2} \, dt +\frac 14 \int \frac { 1}{t+2} \, dt=

-\int \frac {t}{4t^2} \, dt+\int \frac {2}{4t^2} \, dt +\frac 14 log(t+2)=

-\frac 14\int \frac {1}{t} \, dt+\frac 12 \int \frac {1}{t^2} \, dt +\frac 14 log(t+2)=

-\frac 14 log(t) -\frac 12 \frac {1}{t} +\frac 14 log(t+2) +c

 

 

 

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Erica scrive: Esercizio integrale

Oggetto: soluzione di esercizio

Corpo del messaggio:
ciao vorrei sapere come si svolge questo esercizio:integrale xarctgx fratto  la radice 1+x^2  ciao grszie

 

Risposta dello staff

\int \frac {xarctgx}{\sqrt {1+x^2}} \, dx

Risolviamolo per parti, ricordando la formula:

\int f'(x) g(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \, dx

Poniamo:

f'(x)= \frac {x}{\sqrt {1+x^2}} \Rightarrow f(x) =\sqrt {1+x^2}

g(x)=arctg x \Rightarrow g'(x) =\frac{1} {1+x^2}.

\int \frac {xarctgx}{\sqrt {1+x^2}} \, dx=

\sqrt {1+x^2}arctg x -\int \frac {\sqrt {1+x^2}}{1+x^2} \, dx=

\sqrt {1+x^2}arctg x -\int \frac {1}{\sqrt {1+x^2}} \, dx=

Quest’ultimo è un integrale immediato sfruttando le funzioni iperboliche:

\sqrt {1+x^2}arctg x -arcsSh x +c.

Altrimenti sarebbe:

\sqrt {1+x^2}arctg x -log(x+\sqrt{1+x^2})+c,

facendo un po’ di calcoli in più…

 

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