Eleonora scrive: Ricerca asintoti e grafico

Oggetto: Ricerca asintoti e grafico

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Salve,potreste spiegarmi come si effettua la ricerca degli asintoti? Grazie in anticip

y = \frac { 3x (x^2-2x+1)}{x^2 -7x +10}

Risposta dello staff

y = \frac { 3x(x-1)^2}{(x-5)(x-2)}

Visto che numeratore e denominatore non hanno fattori in comune, ed essendo una funzione razionale fratta, per cercare gli asintoti verticali bisognerà porre semplicemente il denominatore uguale a 0; quindi:

x-5=0 \rightarrow x=5

x-2=0 \rightarrow x=2

I due asintoti verticali avranno equazioni: x=2 e x=5.

Non avrà asintoti orizzontali in quanto il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore.

Potrà avere asintoto obliquo di equazione y=mx+q. Andiamo a verificare:

    \[m= \lim_{x \to \pm \infty} \frac {f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac {3x^3-6x^2+3x}{x^3-7x^2+10x}=3\]

    \[q= \lim_{x \to \pm \infty} \left(f(x)-mx\right)=\lim_{x \to \pm \infty} \frac {3x^3-6x^2+3x}{x^2-7x+10}-3x=\]

    \[=\lim_{x \to \pm \infty} \frac {3x^3-6x^2+3x-3x^3+21x^2-30x}{x^2-7x+10}=\]

    \[=\lim_{x \to \pm \infty} \frac {15x^2-27x}{x^2-7x+10}=15\]

Quindi ammetterà come unico asintoto obliquo:

y=3x+15

 

 

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