Claudio scrive: Esercizio disequazione

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\sqrt{x-4} - 5 < - \sqrt {2x+6}

Isoliamo le radici:

\sqrt {x-4}+\sqrt{2x+6}<5

Eleviamo al quadrato ricordando che le radici devono essere positive per costruzione:

\begin{cases} x-4+2x+6+2\sqrt {(x-4)(2x+6)}<25 \\ x-4 \geq 0 \\ 2x+6 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} 3x+2+2\sqrt {(x-4)(2x+6)}<25 \\ x \geq 4 \\ x \geq -3 \end{cases}

Possiamo eliminare la terza disequazione perchè inutile ai fini dei calcoli:

\begin{cases} 2\sqrt {(x-4)(2x+6)}<23-3x \\ x \geq 4  \end{cases}

\begin{cases} 4(2x^2+6x-8x-24)<(23-3x)^2 \\ x \geq 4  \end{cases}

 

\begin{cases}8x^2+24x-32x-96<529-138x+9x^2 \\ x \geq 4\end{cases}

\begin{cases} x^2-130x+625>0 \\ x \geq 4 \end {cases}

Analizziamo solo la disequazione e notiamo che:

x^2-130+625=(x-5)(x-125).

Quindi la disequazione è verificata per

x<5 \quad \lor \quad x>125

Il sistema nel complesso è verificato per:

    \[4 \leq x <5 \quad \lor \quad x>125.\]

 

 

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