Nicolò scrive: Equazione con radici

Oggetto: Come si risolve questa Equazione con radici?

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Risposta dello staff

y=\sqrt{\sqrt{4-9x^2}-x-2}+ \sqrt{5x+1}

Non essendoci la richiesta per questo esercizio, suppongo la richiesta sia di verificare ove questa funzione possa essere verificata, ovvero, calcolare per quali valori di x esista un valore della y.

\begin{cases} 4-9x^2 \geq 0 \\ \sqrt{4-9x^2}-x-2\geq 0  \\ 5x+1 \geq 0 \end{cases}

Studiamo separatamente i casi:

  • 4-9x^2 \geq 0

9x^2-4\leq 0

Le due soluzioni dell’equazione associata sono: x= \pm \frac 23, e quindi la disequazione è verificata per:

-\frac 23 \leq x \leq \frac 23

  • 5x+1 \geq 0

x \geq -\frac 15

  •  \sqrt{4-9x^2}-x-2 \geq 0

 \sqrt{4-9x^2} \geq x+2

Analizziamo i due sistemi:

\begin{cases}x+2 <0 \\ 4-9x^2 \geq 0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x+2 \geq 0 \\ 4-9x^2 \geq (x+2)^2 \end{cases}

\begin{cases} x <-2 \\-\frac 23 \leq x \leq \frac 23 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x \geq -2 \\ 4-9x^2 \geq x^2+4x+4 \end{cases}

\begin{cases} x <-2 \\ -\frac 23 \leq x \leq \frac 23 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x \geq -2 \\  10x^2+4x\leq 0 \end{cases}

\begin{cases} x <-2 \\ -\frac 23 \leq x \leq \frac 23 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x \geq -2 \\  -\frac 25 \leq x \leq 0 \end{cases}

Quindi, il primo sistema non è mai verificato; il secondo sarà verificato per:

-\frac 25 \leq x \leq 0.

Riportiamo tutto nel primo sistema:

\begin{cases}  -\frac 23 \leq x \leq \frac 23 \\-\frac 25 \leq x \leq 0 \\ x \geq -\frac 15 \end{cases}

 

Mettendo tutto a sistema, notiamo che i tre pezzi saranno verificati per:

-\frac 15 \leq x \leq 0

 

 

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