Michela scrive: problema

Pubblicato il 14 Novembre 2013 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: problema

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RISCRIVI LA TRACCIA

Dato il triangolo ABC rettangolo in A e isoscele con $BC=18\sqrt2$ . Considera su AB un punto P. Congiungi P con C e da A traccia la parallela a PC fino ad incontrare in D il prolungamento del lato BC. Determinare AP in modo che $\frac{\sqrt 2 }{2} DC + \frac 13 AP= 95$

Ricaviamo subito con il teorema di Pitagora, sapendo che $AB=AC$ , la loro lunghezza:

$AB^2+AC^2=BC^2$

$2AB^2=BC^2$

$AB\sqrt 2 =BC$

$AB=\frac {18\sqrt 2 }{\sqrt 2}=18$ .

Per costruzione notiamo che i due triangoli PBC e ADB sono simili, e che quindi:

$DB:BC=AB:PB$

Ponendo $AP=x$ , avremo che:

$PB=18-x$

$DB=DC+DB=DC+18\sqrt 2$

Sostituendo otteniamo:

$\frac {DC+18\sqrt 2}{18\sqrt 2}=\frac {18}{18-x}$

$DC+18\sqrt 2=\frac {324\sqrt 2}{18-x}$

$DC=\frac {324\sqrt 2}{18-x}-18\sqrt 2$

$DC=\frac {324\sqrt 2-324\sqrt 2 +18x\sqrt 2}{18-x}$

$DC=\frac {18x\sqrt 2}{18-x}$

Sostituendo nella traccia otteniamo:

$\frac{\sqrt 2 }{2} DC + \frac 13 AP= 95$

$\frac{\sqrt 2 }{2} \frac {18x\sqrt 2}{18-x}+ \frac 13 x= 95$

$\frac {18x}{18-x}+ \frac 13 x= 95$

$54x+18x-x^2= 5130-285x$

$x^2-18x-54x +5130-285x=0$

$x^2-357x +5130=0$

$x_{\frac 12}=\frac {357 \pm \sqrt {127449-20520}}{2}= \frac {357 \pm \sqrt {106929}}{2}=\frac {357 \pm 327}{2}$

Le due soluzioni saranno:

$x_1=15$

$x_2=342$

Ovviamente la seconda sarà da escludere perchè essendo P interno ad AB, deve verificare $0<x<18$ .

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