Michela scrive: problema

Oggetto: problema

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RISCRIVI LA TRACCIA

Dato il triangolo ABC rettangolo in A e isoscele con BC=18\sqrt2. Considera su AB un punto P. Congiungi P con C e da A traccia la parallela a PC fino ad incontrare in D il prolungamento del lato BC. Determinare AP  in modo che \frac{\sqrt 2 }{2} DC + \frac 13 AP= 95

 

Ricaviamo subito con il teorema di Pitagora, sapendo che AB=AC, la loro lunghezza:

AB^2+AC^2=BC^2

2AB^2=BC^2

AB\sqrt 2 =BC

AB=\frac {18\sqrt 2 }{\sqrt 2}=18.

Per costruzione notiamo che i due triangoli PBC e ADB sono simili, e che quindi:

DB:BC=AB:PB

Ponendo AP=x, avremo che:

PB=18-x

DB=DC+DB=DC+18\sqrt 2

Sostituendo otteniamo:

\frac {DC+18\sqrt 2}{18\sqrt 2}=\frac {18}{18-x}

DC+18\sqrt 2=\frac {324\sqrt 2}{18-x}

DC=\frac {324\sqrt 2}{18-x}-18\sqrt 2

DC=\frac {324\sqrt 2-324\sqrt 2 +18x\sqrt 2}{18-x}

DC=\frac {18x\sqrt 2}{18-x}

Sostituendo nella traccia otteniamo:

\frac{\sqrt 2 }{2} DC + \frac 13 AP= 95

\frac{\sqrt 2 }{2}  \frac {18x\sqrt 2}{18-x}+ \frac 13 x= 95

 \frac {18x}{18-x}+ \frac 13 x= 95

54x+18x-x^2= 5130-285x

x^2-18x-54x +5130-285x=0

x^2-357x +5130=0

x_{\frac 12}=\frac {357 \pm \sqrt {127449-20520}}{2}= \frac {357 \pm \sqrt {106929}}{2}=\frac {357 \pm 327}{2}

Le due soluzioni saranno:

x_1=15

x_2=342

Ovviamente la seconda sarà da escludere perchè essendo P interno ad AB, deve verificare 0<x<18.

 

 

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