Federica scrive: Esercizi sul piano cartesiano

Oggetto: calcolo distanza e punti medi nel piano cartesiano

Corpo del messaggio:
stabilisci se i tre punti medi A(-1,5), B(1,1), C(4,-5) sono allineati (suggerimento: ricorda la disuguaglianza triangolare). determina quindi la distanza tra il punto medio di AB e il punto medio di BC.

 

Non sapendo bene le conoscenze che hai, vediamo un metodo abbastanza semplice:

ricaviamo la retta passante per A e per B e verifichiamo che passi anche per C.

    \[r_{AB}: \frac {y-y_A}{y_B-y_A}=\frac {x-x_A}{x_B-x_A}\]

    \[r_{AB}: \frac {y-5}{1-5}=\frac {x+1}{1+1}\]

    \[r_{AB}: -\frac {y-5}{4}=\frac {x+1}{2}\]

    \[r_{AB}: -y+5=2x+2\]

    \[r_{AB}: y=-2x+3\]

Per verificare che passi pure per C, basterà verificare l’identità che si verrà a formare sostituendo al posto delle incognite le coordinate del punto:

-5=-2(-4)+3

-5=-5.

Quindi, il punto C appartiene alla retta e, i tre punti sono allineati.

Calcoliamo le coordinate dei vertici dei due punti medi:

    \[M\left(\frac {x_A+x_B}{2};\frac {y_A+y_B}{2}\right)\]

    \[M\left(\frac {-1+1}{2};\frac {5+1}{2}\right)\]

    \[M\left(0;3\right)\]

    \[N\left(\frac {x_C+x_B}{2};\frac {y_C+y_B}{2}\right)\]

    \[N\left(\frac {4+1}{2};\frac {-5+1}{2}\right)\]

    \[N\left(\frac {5}{2};-2\right).\]

Calcoliamo la distanza tra questi due punti:

    \[MN=\sqrt{\left(x_M-x_N\right)^2+\left(y_M-y_N\right)^2}\]

    \[MN=\sqrt{\left(0-\frac 52\right)^2+\left(3+2\right)^2}\]

    \[MN=\sqrt{\frac {25}{4}+25}\]

    \[MN=\sqrt{\frac {125}{4}}\]

    \[MN=\frac {5}{2} \sqrt 5\]

 

 

 

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 77 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *