Lorenzo scrive: Esercizi di trigonometria con funzioni

Oggetto: Problemi di trigonometria con funzioni/equazioni/disequazioni

 

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  • Sapendo che il triangolo APB è inscritto in una semicirconferenza, possiamo subito affermare che questo triangolo è rettangolo in P.

Saputo questo, e, seguendo la traccia, indichiamo A\widehat{B}P=x, così da avere:

    \[PB=AB cosx=4cosx\]

    \[PO=\frac 12 AB=2\]

Da cui:

    \[\frac {32cosx+10}{4}=\frac {13}{2}\]

    \[32cosx+10=26\]

    \[32cosx=16\]

    \[cosx=\frac 12\]

Essendo l’angolo compreso tra 0<x<90^\circ, possiamo sicuramente dire che:

    \[x = 60= \frac 13 \pi.\]

 

  • Sapendo per certo che il triangolo APB è inscritto in una semicirconferenza, possiamo subito affermare che questo triangolo è rettangolo in P.

 

Saputo questo, e, seguendo la traccia, indichiamo A\widehat{B}P=x, così da avere:

    \[PB=AB cosx=10cosx\]

Tracciano PH, perpendicolare al diametro, otteniamo che:

    \[HB=PBcosx\]

Ma, per come costruito, avremo che:

    \[PC+HB=AB\]

e quindi:

    \[PC=AB-HB=AB-PBcosx=AB-ABcos^2x=10(1-cos^2x)\]

Sostituendo il tutto nell’equazione dataci dalla traccia, otteniamo:

    \[10cosx + 10(1-cos^2x)=\frac {25}{2}\]

    \[4cosx +4-4cos^2x=5\]

    \[4cos^2x-4cosx+1=0\]

    \[(2cosx-1)^2=0\]

che darà come risultato:

    \[cosx=\frac 12 \Rightarrow x=60^\circ=\frac 13 \pi\]

dovendo l’angolo essere compreso tra 0^\circ e 90^\circ.

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