Leandro scrive: Disequazione

Oggetto: Equazioni con valori assoluti

Corpo del messaggio:

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Risposta dello staff

  • \left|4x+2 \right| = \left| -x^2-2 \right|

 

Dato che -x^2-2 è sempre negativo, per qualsiasi x, basterà studiare solo 2 casi:

    \[\begin {cases} 4x+2 \geq 0 \\ 4x+2 = x^2+2 \end{cases} \quad \quad \begin {cases} 4x+2 < 0 \\ -4x-2 = x^2+2 \end{cases}\]

    \[\begin {cases} x \geq -\frac 12 \\  x^2-4x=0 \end{cases} \quad \quad \begin {cases} x < -\frac 12 \\  x^2+4x+4=0 \end{cases}\]

    \[\begin {cases} x \geq -\frac 12 \\  x=0 \quad \lor \quad x=4 \end{cases} \quad \quad \begin {cases} x < -\frac 12 \\  x=-2 \end{cases}\]

Nel primo sistema avremo un’equazione spuria, e nel secondo il quadrato di un binomio. Sono tutte e 3 soluzioni accettabili.

 

  •  \left | x^4-3x \right | =-3 \left|x\right|

Senza fare grossi calcoli ci accorgiamo che il fattore di sinistra sarà sempre positivo, mentre quello di destra sarà sempre negativo…

Riscriviamo in questo modo:

\left | x \right| \left|x^3-3 \right | +3 \left|x\right|=0

\left | x \right| \left( \left|x^3-3 \right | +3\right)=0

Da qui avremo che il primo fattore può essere uguale a 0 per x=0, mentre il secondo non sarà mai uguale a 0 per nessun valore della x.

  • \frac {2}{\left|x+3\right|}-\frac {3}{\left|x-2\right|} =0

Qui dovremmo  studiare 3 sistemi, ma essendo la differenza uguale a 0, i sistemi per x<-3 e per x>2 coincideranno:

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ \frac {2}{x+3}-\frac {3}{x-2} =0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  -3 < x<2 \\ \frac {2}{x+3}+\frac {3}{x-2} =0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ 2x-4-3x-9 =0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  -3 < x<2 \\2x-4+3x+9=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ -x =13 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  -3 < x<2 \\5x=-5 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ x =-13 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  -3 < x<2 \\x=-1 \end{cases}\]

Soluzioni entrambe accettabili.

 

 

 

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6 pensieri su “Leandro scrive: Disequazione”

  1. In merito al primo esercizio vorrei sapere se è indifferente mettere il segno di uguaglianza nelle disequazioni dei sistemi, cioè scrivere nel primo sistema:

    4x+2>0

    e nel secondo:

    4x+2<=0.

    Distinti saluti.

  2. In merito al primo esercizio, essendo un’equazione del tipo:

    Modulo di f(x) = Modulo di g(x)

    si poteva anche risolvere semplicemente imponendo

    f(x)=g(x) e f(x)= – g(x)

    senza mettere a sistema le condizioni 4x+2>=0 e 4x+2<0.

    Grazie

  3. Assolutamente si.

    Ho fatto la solita discussione standard che si fa per i valori assoluti, perchè comunque questo risulta un caso particolare.

    1. Si… Ma onde evitare di affrontare equazioni di quarto grado, sarebbe preferibile cercare di tenere il più basso possibile il grado (questo è un mero consiglio, poi ognuno è libero di svolgere l’esercizio in altro modo).
      Quello che proponiamo non è mai l’unica soluzione all’esercizio, ma una spiegazione di un possibile svolgimento.

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