Vincenzo scrive: Esercizio

Pubblicato il 24 Maggio 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Esercizio

Corpo del messaggio:
$(4-k^2)x^2-4x+1=0$

a) radici reali;
b) radici opposte;
c) radici reciproche;
d) somma delle radici ugale a 2 sqrt(2);
e) somma dei reciproci dei quadrati delle radici uguale a 2;

Risposta dello staff

Svolgimento:

Innanzitutto notiamo che se $k= \pm 2$ l’equazione diventa un’equazione di primo grado.

a)

Affinchè le radici siano reali, il $\Delta$ deve essere maggiore o uguale a 0.

$\Delta=16-4(4-k^2)=16-16+4k^2=4k^2$

Quindi, per qualsiasi valore di k, l’equazione ammetterà radici reali.

b)

Affinchè le radici siano opposte, deve verificarsi che la somma delle radici sia nulla, ovvero che:

$-\frac ba=0$

Ma questo, non essendo il coefficiente della x in funzione di k, non si verificherà mai.

c)

Affinchè le radici siano reciproche, deve verificarsi che il prodotto delle radici sia 1, ovvero che:

$\frac ca=1$

$\frac{1}{4-k^2}=1$

da cui:

$4-k^2=1$

$k^2=3$

$k= \pm \sqrt 3$

d)

Deve verificarsi che la somma delle radici sia uguale a $2\sqrt 2$ , ovvero che:

$-\frac ba=2\sqrt 2$

$\frac{-4}{4-k^2}=1$

da cui:

$4-k^2=-4$

$k^2=8$

$k= \pm 2\sqrt 2$

e)

Affinchè la somma dei reciproci dei quadrati delle radici uguale a 2, deve verificarsi che:

$\frac {1}{x_1^2}+\frac {1}{x_2^2}=2$

$\frac {x_1^2+x_2^2}{x_1^2 \cdot x_2^2}=2$

$\frac {(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1^2 \cdot x_2^2}=2$

$\left(\frac {x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2}\right)^2-\frac {2}{x_1 \cdot x_2}=2$

$\left(\frac {-b}{c}\right)^2-\frac {2a}{c}=2$

Sostituiamo e otteniamo:

$\left(-4\right)^2-2(4-k^2)=2$

$16-8+2k^2=2$

$k^2=-6$

Un quadrato non potrà mai essere uguale ad un numero negativo e quindi non si verificherà mai.

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