Esercizio 11 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 2

Traccia

\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-3}=\sqrt x + \sqrt {3x-3}

Svolgimento

Essendo le radici già isolate, possiamo elevare subito al quadrato dopo aver verificato le condizioni di esistenza.

\begin {cases} 3x+4 \geq 0 \\ x-3 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ 3x-3 \geq 0 \end{cases}

\begin {cases} x \geq -\frac 43 \\ x \geq 3 \\ x \geq 0 \\ x \geq 1 \end{cases}

Quindi, affinchè siano verificate deve succedere che:

x \geq 3.

Eleviamo ora tutto al quadrato:

3x+4 +2\sqrt{(3x+4)(x-3)}+x-3=x+2\sqrt {x(3x-3)}+3x-3

4 +2\sqrt{(3x+4)(x-3)}=+2\sqrt {x(3x-3)}

2 +\sqrt{(3x+4)(x-3)}=\sqrt {x(3x-3)}

Elevando nuovamente al quadrato otteniamo:

4+4\sqrt{(3x+4)(x-3)}+3x^2-9x+4x-12=3x^2-3x

4\sqrt{(3x+4)(x-3)}=2x+8

2\sqrt{(3x+4)(x-3)}=x+4

Rieleviamo di nuovo al quadrato.

12x^2-36x+16x-48= x^2+8x+16

11x^2-28x-64= 0

x_{\frac12 }=\frac {28 \pm \sqrt {784+2816}}{22}=\frac {28 \pm \sqrt {3600}}{22}=\frac {28 \pm 60}{22}=\frac {14 \pm \sqrt 30}{11}

Da questa avremo due soluzioni:

x=-\frac {16}{11} non accettabile, e

x=4 accettabile.

 

 

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