Esercizio 13 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 2

Traccia

\sqrt{3x+16}-\sqrt{3x+7}=\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}

Svolgimento

\sqrt{3x+16}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+13}+\sqrt{3x+7}

Essendo le radici già isolate, possiamo elevare subito al quadrato dopo aver verificato le condizioni di esistenza.

\begin {cases} 3x+16 \geq 0 \\ 3x+7 \geq 0 \\ x+13 \geq 0 \\ x+6 \geq 0 \end{cases}

\begin {cases} x \geq -\frac {16}{3} \\ x \geq -\frac 73 \\ x \geq -13 \\ x \geq -6 \end{cases}

Quindi, affinchè siano verificate entrambe deve succedere che:

x \geq -\frac 73.

Eleviamo ora tutto al quadrato:

3x+16+2\sqrt{(3x+16)(x+6)}+x+6=x+13+2\sqrt{(x+13)(3x+7)}+3x+7

2+2\sqrt{(3x+16)(x+6)}=2\sqrt{(x+13)(3x+7)}

1+\sqrt{(3x+16)(x+6)}=\sqrt{(x+13)(3x+7)}

Eleviamo nuovamente al quadrato:

1+2\sqrt{(3x+16)(x+6)}+3x^2+34x+96=3x^2+46x+91

2\sqrt{(3x+16)(x+6)}=12x-6

\sqrt{(3x+16)(x+6)}=6x-3

Rieleviamo di nuovo al quadrato.

3x^2+34x+96=36x^2-36x+9

33x^2-70x-87=0

x_{\frac 12}=\frac {70 \pm \sqrt {4900+11484}}{66}=\frac {70 \pm \sqrt {16384}}{66}=\frac {70 \pm 128}{66}=\frac {35 \pm 64}{33}

Da questa avremo due soluzioni:

x=-\frac {29}{33} accettabile, e

x=3 accettabile.

 

 

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