Problema 1 P.N.I. 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f(x)= x + ln 4 + \frac {2}{e^x+1} e sia  \Gamma la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oxy.

 

  1. Si determini il limite di f(x) per x che tende a +\infty e a -\infty. Si calcoli f(x) + f(-x) e si spieghi perchè dal risultato si può dedurre che il punto A(0; 1 + ln4) è centro di simmetria di \Gamma.
  2. Si provi che, per tutti i reali m, l’equazione f(x) = m ammette una e una sola soluzione in R. Sia \alpha la soluzione dell’equazione f(x) = 3; per quale valore di m il numero -\alpha è soluzione dell’equazione f(x ) = m?
  3. Si provi che, per tutti gli x reali, è: f(x) = x + 2+ ln 4 -\frac {2e^x}{e^x+1}. Si provi altresì che la retta r di equazione y = x + ln4 e la retta s di equazione y = x + 2 + ln 4 sono asintoti di \Gamma e che \Gamma è interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s.
  4. Posto I(\beta)=\int_0^{\beta} \left [(f(x)-x-ln 4 \right] dx, si calcoli:

        \[\lim_{\beta \to +\infty}I(\beta).\]

    Qual è il significato geometrico del risultato ottenuto?

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