Problema 2 Scientifico 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da

    \[f (x) = (ax + b)  e^{-\frac x3} + 3.\]

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d’ascissa 4 e che f(0) = 2.

 

  1. Si provi che a=1 e b=-1.
  2. Si studi su R la funzione f (x) = (x - 1) e^{-\frac x3} + 3 e se ne tracci il grafico \Gamma nel sistema di riferimento Oxy.
  3. Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da \Gamma, dall’asse y e dalla retta y = 3.
  4. Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con xi l’anno di osservazione e con yi il corrispondente profitto.
Anno 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
x_i 0 1 2 3 4 5 6
y_i 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65

Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell’andamento del profitto giudicando accettabile una funzione g definita su R^+ se per ciascun x_i, oggetto dell’osservazione, si ha: \left | g(x_i) - y_i \right | \leq 10^{ -1} . Si verifichi, con l’aiuto di una calcolatrice, che è accettabile la funzione f del punto 2 e si dica, giustificando la risposta, se è vero che, in tal caso, l’evoluzione del fenomeno non potrà portare a profitti inferiori ai 3 milioni di euro.

 

 

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