Problema 2 P.N.I. 2011

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

    \[f(x) = x^3 - 16x \quad \quad \mbox { e } \quad \quad  g(x)= sen \frac {\pi}{2} x.\]

 

  1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo  [–10; 10] e se ne indichino le coordinate.
  2. L’architetto rappresenta la superficie libera dell’acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull’intervallo [0; 4]. Si calcoli l’area di R.
  3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y = - 15 e y = - 5, l’architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell’acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un’approssimazione a meno di 10^{ -1} ).
  4. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y, la misura della profondità dell’acqua nella piscina è data da h(x) = 5 - x. Quale sarà il volume d’acqua nella piscina? Quanti litri d’acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?

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