Problema 2 Scientifico 2012

Nel primo quadrante del sistema di riferimentoOxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione x^2=9-6y i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).

 

  1. Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l’area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB.
  2. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all’asse x, hanno, per ogni 0 \leq x \leq 3, area S( x )=e^{5-3x} . Si determini il volume di W.
  3. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse x.
  4. Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all’arco AB e all’asse x. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella figura a lato.

 

 

 

 

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