Christian: Risoluzione Sistemi A 3 incognite a 3 equazioni 2

Corpo del messaggio:
Salve mi servirebbe la risoluzione a questi 2  sistemi con tre incognite e tre equazioni con i 3 metodi ( se e possibile 🙂 ) ( Cramer,Pivot,Sostituzione ) anche  un solo metodo e benvoluto

Confido in voi grazie mille

Di seguito il sistema:

\begin{cases} x+\frac {y+z}{2} =\frac 32 \\  \frac {x+y}{2} +z=\frac 23 \\ \frac {x+z}{2} +y=-\frac 32 \end {cases}

 

Soluzione:

Innanzitutto, calcolando i minimi comuni multipli sulla prima e la terza equazione rendiamo tutti i coefficienti interi, in modo da semplificare i calcoli, e dopo svolgeremo i sistemi con i metodi di sostituzione e di Cramer.

\begin{cases} \frac {2x+y+z}{2} =\frac 32 \\ \frac {3x+3y+6z}{6}=\frac 46 \\ \frac {x+2y+z}{2}=-\frac 32 \end {cases}

\begin{cases} 2x+y+z = 3 \\ 3x+3y+6z= 4 \\ x+2y+z =-3 \end {cases}

 

  • Metodo di sostituzione

Troviamo la z nella terza equazione e sostituiamola nelle altre 2 equazioni:

\begin{cases} 2x+y+(-x-2y-3) = 3 \\ 3x+3y+6(-x-2y-3)= 4 \\ z =-x-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} 2x+y-x-2y-3 = 3 \\ 3x+3y-6x-12y-18= 4 \\ z =-x-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} x-y = 6 \\ -3x-9y= 22 \\ z =-x-2y-3 \end {cases}

Dalla prima ricaviamo la x :

\begin{cases} x = 6+y \\ -3(6+y)-9y= 22 \\ z =-(6+y)-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} x = 6+y \\ -18-3y-9y= 22 \\ z =-6-y-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} x = 6+y \\ -12y= 40 \\ z =-3y-9 \end {cases}

\begin{cases} x = 6-\frac {10}{3} \\ y= -\frac {40}{12}=-\frac {10}{3} \\ z =-3(-\frac {10}{3})-9 \end {cases}

\begin{cases} x = \frac {8}{3} \\ y= -\frac {10}{3} \\ z =10-9=1 \end {cases}

  • Metodo di Cramer

Utilizziamo il sistema “modificato”:

\Delta =\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=(6+6+6)-(3+24+3)=18-30=-12

\Delta_x =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 6 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=(9-18+8)-(-9+36+4)=-1-31=-32

\Delta_y =\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 6 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}=(8+18-9)-(4-36+9)=17+23=40

\Delta_z =\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}=(-18+4+18)-(9+16-9)=4-16=-12

Da cui avremo le 3 soluzioni:

  • x=\frac {\Delta_x}{\Delta}=\frac {-32}{-12}=\frac 83
  • y=\frac {\Delta_y}{\Delta}=\frac {40}{-12}=-\frac {10}{3}
  • z=\frac {\Delta_z}{\Delta}=\frac {-12}{-12}=1

Se fosse necessario anche il metodo Pivot, basta chiedere… 🙂

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Christian: Risoluzione Sistemi A 3 incognite a 3 equazioni 1

Corpo del messaggio:
Salve mi servirebbe la risoluzione a questi 2  sistemi con tre incognite e tre equazioni con i 3 metodi ( se e possibile 🙂 ) ( Cramer,Pivot,Sostituzione ) anche  un solo metodo e benvoluto

Confido in voi grazie mille

Di seguito i sistemi

\begin{cases} x+\frac 12y +\frac 13z=4 \\ x+y+z=6 \\ \frac 13 x+\frac 12y+z=4 \end {cases}

 

Soluzione:

Innanzitutto, calcolando i minimi comuni multipli sulla prima e la terza equazione rendiamo tutti i coefficienti interi, in modo da semplificare i calcoli, e dopo svolgeremo i sistemi con i metodi di sostituzione e di Cramer.

\begin{cases} \frac {6x+3y+2z}{6}=\frac {24}{6} \\ x+y+z=6 \\ \frac {2x+3y+6z}{6}=\frac {24}{6} \end {cases}

 

\begin{cases} 6x+3y+2z=24 \\ x+y+z=6 \\ 2x+3y+6z=24 \end {cases}

  • Metodo di sostituzione

Troviamo la x nella seconda equazione e sostituiamola nelle altre 2 equazioni:

\begin{cases} 6(6-y-z)+3y+2z=24 \\ x=6-y-z \\ 2(6-y-z)+3y+6z=24 \end {cases}

\begin{cases} 36-6y-6z+3y+2z=24 \\ x=6-y-z \\ 12-2y-2z+3y+6z=24 \end {cases}

\begin{cases} -3y-4z=-12 \\ x=6-y-z \\ y+4z=12 \end {cases}

Dall’ultima ricaviamo la y :

\begin{cases} -3(12-4z)-4z=-12 \\ x=6-(12-4z)-z \\ y=12-4z \end {cases}

\begin{cases} -36+12z-4z=-12 \\ x=6-12+4z-z \\ y=12-4z \end {cases}

\begin{cases} 8z=24 \\ x=3z-6 \\ y=12-4z \end {cases}

\begin{cases} z=3 \\ x=9-6=3 \\ y=0 \end {cases}

  • Metodo di Cramer

Utilizziamo il sistema iniziale:

\Delta =\begin{vmatrix} 1 & \frac 12 & \frac13 \\ 1 & 1 & 1 \\ \frac 13 & \frac 12 & 1 \end{vmatrix}=(1+\frac16 +\frac 16)-(\frac 19+\frac 12+\frac 12)=1+\frac13-\frac 19-1=\frac {3-1}{9}=\frac 29

\Delta_x =\begin{vmatrix} 4 & \frac 12 & \frac13 \\ 6 & 1 & 1 \\ 4 & \frac 12 & 1 \end{vmatrix}=(4+2+1)-(\frac 43+2+3)=7-\frac {19}{3}=\frac {21-19}{3}=\frac 23

\Delta_y =\begin{vmatrix} 1 & 4 & \frac13 \\ 1 & 6 & 1 \\ \frac 13 & 4 & 1 \end{vmatrix}=(6+\frac43 +\frac 43)-(\frac 69+4+4)=6+\frac83-\frac 23-8=2-2=0

\Delta_z =\begin{vmatrix} 1 & \frac 12 & 4 \\ 1 & 1 & 6 \\ \frac 13 & \frac 12 & 4 \end{vmatrix}=(4+1+2)-(\frac 43+3+2)=7-\frac {19}{3}=\frac {21-19}{3}=\frac 23

Da cui avremo le 3 soluzioni:

  • x=\frac {\Delta_x}{\Delta}=\frac {\frac 23}{\frac 29}=\frac 23 \cdot \frac 92=3
  • y=\frac {\Delta_y}{\Delta}=\frac {0}{\frac 29}=0
  • z=\frac {\Delta_z}{\Delta}=\frac {\frac 23}{\frac 29}=\frac 23 \cdot \frac 92=3

Se fosse necessario anche il metodo Pivot, basta chiedere… 🙂

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Christian: sistemi con 3 equazioni a 3 incognite

Corpo del messaggio:
mi servirebbe la risoluzione a queta equazione con il metodo che preferite (basta che ne sono 2) grazie mille anticipatamente

\begin{cases} 2x+y+z=1 \\ 4x-y+z=-5 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

 

Soluzione

Per semplificare le operazioni usiamo il metodo di riduzione, addizionando la prima alla seconda equazione, la seconda alla terza e lasciando la terza inalterata:

\begin{cases} 6x+2z=-4 \\ 3x+3z=0 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

Riscriviamo le prime due semplificandole:

\begin{cases} 3x+z=-2 \\ x+z=0 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

Dalla seconda troviamo la z, e sostituiamo nella prima:

\begin{cases} 3x-x=-2 \\ z=-x \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} 2x=-2 \\ z=-x \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=-x \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=1 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=1 \\  1+y+2=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=1 \\  y=2 \end{cases}

 

Se ti servono altri metodi, dimmi quali hai usato, ad esempio quello del determinante delle matrici, che te lo sviluppiamo subito

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Fernando scrive sulle equazioni

Corpo del messaggio:
Salve,
sono sconcertato da una semplice equazione..
Alla fine dell’equazione ho questo risultato: -x=-7.
L’equazione sta fatta bene, è sicuro, ma come si risolve alla fine con la x negativa? non è una disequazione in cui si può cambiare il segno cambiando minore o maggiore..
Scusate ma è parecchio che non faccio le equazioni..
Ciao e grazie

 

 

Risposta

Ciao e grazie del messaggio

Puoi semplicemente moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per (-1)

ottenendo

x=7

Nel caso di disequazione ti devi giustamente ricordare di invertire il segno di disequazione.

A presto

Nicola

(Questa pagina è stata visualizzata da 209 persone)

Maddalena scrive

Corpo del messaggio:
aggiungi 3 l prodotto di 5 e -4

 

Soluzione

Il problema sembra incompleto.

Vi consigliamo di postare interamente la traccia per evitare di risolvere problemi differenti.

 

Veniamo al quesito.

Sembra una semplice equazione da impostare

x = 3 + (5* (-4))

Chiaramente dovremo prima fare il prodotto e poi la somma

Quindi

x = 3 + (-20)

x = -17

 

 

 

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Prime equazioni trigonometriche

Oggi abbiamo aggiunto nuovi esercizi svolti

Argomento sono le funzioni trigonometriche

Di seguito i link

A presto per nuovi esercizi

 

Lo staff di Matebook

(Questa pagina è stata visualizzata da 265 persone)

Esercizio proposto sui sistemi

Salve, avrei un problema quando risolto il sistema  mi trovo davanti questo :

\begin{cases} x<3a \\ x>5a \end{cases}

come si procede?
grazie

 

SOLUZIONE

Bisognerà distinguere casi differenti, in base al segno di a.

 

Se a>0, immaginatelo come un numero, che so, 5…. il sistema sarebbe questo:

\begin{cases} x<3 \cdot 5 \\ x>5 \cdot 5 \end{cases}

\begin{cases} x< 15 \\ x>25  \end{cases}

Si vede chiaramente che questo sistema è impossibile, senza bisogno di fare il grafico…

Stesso discorso dicasi per a=0, difatti avremmo:

\begin{cases} x< 0 \\ x>0  \end{cases},

anche questo impossibile…

Se invece fosse a<0, immaginate sia uguale a -1, otterremmo:

\begin{cases} x< -3 \\ x> -5  \end{cases}

che implica che la soluzione sia :

-5<x<-3;

generalizzando alla soluzione letterale, otteniamo la soluzione del sistema:

-5a<x<-3a.

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Damiano scrive

Corpo del messaggio:


non riesco a risolvere questa equazione

\frac {sin(\pi-\alpha)}{ 1-cos(\pi-\alpha)} - \frac {sin(-\alpha)}{ cos(\pi+\alpha)+1}.

Soluzione:

\frac 2 {sin(\alpha)}

Risposta:

Innanzitutto, devo precisare che questa non è una equazione, e che, stiamo pian piano inserendo tutti i vari esercizi di ogni genere; quindi, se magari nn trovate determinati esercizi in questo momento, fate un giro tra qualche giorno e magari troverete quel che cercate. Nel frattempo non esitate a chiedere qui consiglio che risolveremo i vostri problemi. Per quanto riguarda l’esercizio bisogna sfruttare alcune uguaglianze tra le funzioni nei vari quadranti:

  • sin (\pi-\alpha)=sin \alpha
  • cos (\pi-\alpha)= -cos \alpha
  • sin (-\alpha)=- sin \alpha
  • sin (\pi+\alpha)=-cos \alpha
Sfruttando queste uguaglianze e sostituendo otteniamo:

\frac {sin(\pi-\alpha)}{ 1-cos(\pi-\alpha)} - \frac {sin(-\alpha)}{ cos(\pi+\alpha)+1}

\frac {sin(\alpha)}{ 1+cos(\alpha)} - \frac {-sin(\alpha)}{- cos(\alpha)+1}

\frac {sin(\alpha)(1-cos(\alpha))+sin(\alpha)(1+cos(\alpha))}{(1+cos(\alpha))(1-cos(\alpha))}

\frac {sin(\alpha)-sin(\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)+sin(\alpha)cos(\alpha)}{1-cos^2(\alpha)}

Ricrodandosi che: sin^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha):

\frac {2sin(\alpha)}{sin^2(\alpha)}=\frac 2 {sin(\alpha)}.

CVD

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Fernando scrive

Oggetto:

 

Chiarimento su un tipo di sistema

Corpo del messaggio:

Salve, sono un po’ in difficoltà quando in un sistema trovo xy insieme e non so più continuare.
ad esempio: 2x + 3y – xy = 0
                        6x + 7y + 2xy = 4
Oppure potreste indicarmi qualche esercizio svolto simile a questo?

 

 

Allora vediamo un po’ come si può risolvere questo esercizio:

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 2x + 3y - xy = 0 \\ 6x + 7y + 2xy = 4   \end{array}

Moltiplicando per 2 la prima e facendo la somma membro a membro possiamo subito ricavare una delle due incognite lasciando magari inalterata la prima:

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 4x + 6y - 2xy = 0 \\ 6x + 7y + 2xy = 4   \end{array}

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 2x + 3y - xy = 0 \\ 10x + 13y  = 4   \end{array}.

Dalla seconda ricaviamo la x e poi la sostituiamo nella prima in modo da avere poi un’equazione di secondo grado

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 2 \cdot \frac {4-13y} {10} + 3y - \frac {4-13y} {10} y = 0 \\ x  = \frac {4-13y} {10}   \end{array}.

Senza riscrivere tutto il sistema risolviamo solo la prima equazione:

\frac {8-26y+30y-4y+13y^2}{10}=0

13y^2+8=0

Essendo questa un’equazione di secondo grado impossibile, questo sistema non ammetterà soluzione.

Per eventuali altre soluzioni, non c’è un modo sicuramente giusto o uno sicuramente sbagliato; bisogna sapersi adattare alla situazione, perchè, in genere, tutti i metodi portano alla soluzione, solo che alcuni, per così dire, sono “più giusti” di altri…

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Matebook è online!

Dopo mesi di lavoro finalmente Matebook è online.

Matebook è un portale nato con il preciso scopo di facilitare la vita a tutti gli studenti e non alle prese con problemi in matematica.

Siamo un gruppo di matematici che dopo anni di studio e interazioni con gli studenti ci siamo resi conto della carenza di un esercizi svolti in letteratura.

Per questo motivo abbiamo pensato di creare questo portale in cui potrete trovare gratuitamente centinaia di esercizi svolti in quasi (speriamo) tutti i settori principali della matematica.

Abbiamo creato anche delle pagine per suggerire nuovi esercizi da svolgere scrivendoci la traccia o semplicemente inviandoci una foto dell’esercizio in questione.

Siamo disponibili a suggerimenti e richieste particolari da parte di studenti ma anche a quanti matematici come noi volessero entrare nello staff.

Alla prossima

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La matematica spiegata passo passo