Erica scrive: Esercizio integrale di funzione

Oggetto: CIAOOO

Corpo del messaggio:
CIAO questo e l’esercizio: integrale di x^2 .(lnx)^3 dx

Risposta dello staff

$\int x^2 log^3x \mathrm{d}x$

Utilizziamo il metodo di sostituzione:

$logx=t$

$x=e^t$

$\mathrm{d}x=e^t \mathrm{d}t$

così avremo:

$\int e^{2t}t^3 e^t\mathrm{d}t=$

$\int e^{3t}t^3 \mathrm{d}t$

E ora integriamo per parti, ricordando la formula:

$\int f'(x)g(x) \mathrm{d}x = f(x)g(x) - \int f(x) g'(x) \mathrm{d}x$ .

Poniamo:

$f'(x) = e^{3t} \Rightarrow f(x)=\frac 13 e^{3t}$

$g(x)=t^3 \Rightarrow g'(x)=3t^2$ .

$\int e^{3t}t^3 \mathrm{d}t= \frac 13 e^{3t}t^3 - \int \frac 13 e^{3t}3t^2 \mathrm{d}t= \frac 13 e^{3t}t^3 - \int e^{3t}t^2 \mathrm{d}t$ .

Risolviamo nuovamente per parti, questa volta imponendo la stessa $f'(x)$ ma cambiando l’altra funzione:

$g(x)=t^2 \Rightarrow g'(x)=2t$ .

$\frac 13 e^{3t}t^3 - \int e^{3t}t^2 \mathrm{d}t= \frac 13 e^{3t}t^3 - \frac 13 e^{3t}t^2 + \int \frac 13 e^{3t}2t \mathrm{d}t=\frac 13 e^{3t}(t^3-t^2) +\frac 23 \int e^{3t}t \mathrm{d}t$ .

Applichiamo nuovamente l’integrazione per parti, usando questa volta:

$g(x)=t \Rightarrow g'(x)=1$ .

$\frac 13 e^{3t}(t^3-t^2) +\frac 23 \int e^{3t}t \mathrm{d}t=\frac 13 e^{3t}(t^3-t^2) +\frac 23 (\frac 13 e^{3t}t -\int \frac 13 e^{3t} \mathrm{d}t)=\frac 13 e^{3t}(t^3-t^2) +\frac 23 (\frac 13 e^{3t}t - \frac 19 e^{3t})=$

$\frac 13 e^{3t}(t^3-t^2) +\frac 29 e^{3t}t - \frac {2}{27} e^{3t}$

$\frac 13 e^{3t}(t^3-t^2 +\frac 23t - \frac {2}{9})$

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La matematica spiegata passo passo

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