Claudio scrive: Disequazione con valore assoluto

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\left|5x-x^2\right| - 1 < \left|x-1\right|

Analizziamo singolarmente i due valori assoluti:

  • 5x-x^2 \geq 0 \iff 0 \leq x \leq 5
  • x-1 \geq 0 \iff x \geq 1

Da qui si evince che dovremo studiare più sistemi e poi unire le soluzioni:

\begin{cases} x \leq 0 \\ x^2-5x-1<1-x\end{cases} \quad \begin{cases}   0<x<1 \\ 5x-x^2-1<1-x\end{cases} \quad \begin{cases}   1\leq x \leq 5 \\ 5x-x^2-1<x-1\end{cases} \quad \begin{cases}   x>5 \\ x^2-5x-1<x-1\end{cases}

\begin{cases} x \leq 0 \\ x^2-4x-2<0\end{cases} \quad \begin{cases}   0<x<1 \\ x^2-6x+2>0\end{cases} \quad \begin{cases}   1\leq x \leq 5 \\ x^2-4x>0\end{cases} \quad \begin{cases}   x>5 \\ x^2-6x<0\end{cases}

\begin{cases} x \leq 0 \\ x^2-4x-2<0\end{cases} \quad \begin{cases}   0<x<1 \\ x^2-6x+2>0\end{cases} \quad \begin{cases}   1\leq x \leq 5 \\ x^2-4x>0\end{cases} \quad \begin{cases}   x>5 \\ x^2-6x<0\end{cases}

x^2-4x-2<0 \iff 2 - \sqrt {6} \leq x \leq 2+ \sqrt 6

x^2-6x+2<0 \iff 6 - \sqrt {6} \leq x \leq 6+ \sqrt 6

x^2-4x>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>4

x^2-6x>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>6.

Quindi le soluzioni dei singoli sistemi sono:

  1. 2-\sqrt 6 \leq x \leq 0
  2. impossibile
  3. 4<x\leq 5
  4. x>6

La soluzione della disequazione iniziale è l’unione delle 4 soluzioni.

 

 

 

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