Nicolo scrive: Esercizi sistema di disequazione

Oggetto:

Corpo del messaggio:

 

\begin{cases} \frac{x^2-3}{x^2+2x} + \frac{3x+8}{4-x^2} > \frac{1+x^2}{x^2-2x}\\ \frac{\left|2x^2+5x+2\right| -2 }{\sqrt x}>0 \end{cases}

 

Risposta dello staff

Notiamo subito che nella seconda disequazione, il denominatore sarà sempre positivo, se la x risulta essere strettamente positiva, quindi possiamo tranquillamente inserirlo come condizione base del sistema, così da avere:

\begin{cases} \frac{x^2-3}{x(x+2)} - \frac{3x+8}{(x-2)(x+2)} - \frac{1+x^2}{x(x-2)}>0\\ \left|2x^2+5x+2\right| -2>0 \\ x>0 \end{cases}

\begin{cases} \frac{(x^2-3)(x-2)-x(3x+8)-(1+x^2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} >0 \\ \left|2x^2+5x+2\right|  >2 \\ x>0\end{cases}

Studiamo separatamente i casi:

\frac{(x^2-3)(x-2)-x(3x+8)-(1+x^2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} >0

\frac{x^3-2x^2-3x+6-3x^2-8x-x-2-x^3-2x^2}{x(x+2)(x-2)} >0

\frac{-7x^2-12x+4}{x(x+2)(x-2)} >0

\frac{7x^2+12x-4}{x(x+2)(x-2)} <0

  • N>0

7x^2+12x-4>0 \iff  x<-2 \quad \lor \quad x> \frac {2}{7}

  • D_1>0

x>0

  • D_2>0

x>-2

  • D_3>0

x>2

-2 0 \frac27 2
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Quindi la frazione sarà verificata per

x<-2 \quad \lor \quad -2<x<0 \quad \lor \quad \frac 27<x<2

 

\left|2x^2+5x+2\right|  >2

2x^2+5x+2 >2 \quad \lor \quad 2x^2+5x+2<-2

2x^2+5x >0 \quad \lor \quad 2x^2+5x+4<0

Quindi il primo è verificato per x<-\frac 52 \quad \lor \quad x>0

La seconda sarà impossibile.

Mettendo tutto a sistema avremo:

\begin{cases}x<-2 \quad \lor \quad -2<x<0 \quad \lor \quad \frac 27<x<2 \\ x<-\frac 52 \quad \lor \quad x>0 \\ x>0\end{cases}

La soluzione sarà quindi:

 

\frac 27<x<2.

 

 

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