Francesco scrive: Esercizio sistema di disequazioni

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    \[\begin{cases} \frac{\left|x-1\right|-\left|x\right|}{2-\sqrt[3]{x+4}}<0 \\\frac {\sqrt{6-x}-6+4x}{2x-2+\sqrt{9-x}} \leq 0 \end{cases}\]

 

Studiamo separatamente i casi:

  • numeratore prima frazione

\left|x-1\right| - \left| x \right| >0

Avremo 3 sistemi:

\begin{cases} x<0 \\ 1-x+x>0\end{cases} \quad \begin{cases} 0\leq x\leq 1 \\ 1-x-x>0\end{cases} \quad \begin{cases} x>1 \\ x-1-x>0\end{cases}

\begin{cases} x<0 \\ 1>0\end{cases} \quad \begin{cases} 0\leq x\leq 1 \\ x<\frac 12\end{cases} \quad \begin{cases} x>1 \\ -1>0\end{cases}

I sistemi avranno come soluzione:

  1. x<0
  2. x<\frac 12
  3. impossibile

Unendo quindi il numeratore sarà verificato per x<\frac 12

  • denominatore prima frazione

2-\sqrt[3]{x+4}>0

\sqrt[3]{x+4}<2

x+4<8

x<4

La prima frazione quindi sarà verificata per \frac 12 <x<4.

Analizziamo i termini della seconda frazione

  • numeratore seconda frazione:

\sqrt{6-x}-6+4x \geq 0

\sqrt{6-x}\geq 6-4x

Svolgiamo due sistemi e uniamo le soluzioni:

\begin{cases} 6-4x <0 \\ 6-x \geq 0\end{cases} \quad \begin{cases} 6-4x \geq 0 \\ 6-x \geq (6-4x)^2\end{cases}

\begin{cases} x >\frac 32 \\ x \leq 6\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq  \frac 32 \\ 6-x \geq 36-48x+16x^2\end{cases}

\begin{cases} x >\frac 32 \\ x \leq 6\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq  \frac 32 \\ 16x^2-47x+30 \leq 0\end{cases}

\begin{cases} x >\frac 32 \\ x \leq 6\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq  \frac 32 \\ \frac {15}{16}\leq x \leq 4 \end{cases}

I sistemi avranno come soluzione:

  1. \frac 32 < x \leq 6
  2. \frac {15}{16}\leq x\leq \frac 32

Unendo le due il sistema sarà verificato per  \frac {15}{16}\leq x \leq 6

  • denominatore seconda frazione

2x-2+\sqrt{9-x}>0

\sqrt{9-x}>2-2x

Svolgiamo due sistemi e uniamo le soluzioni:

\begin{cases} 2-2x <0 \\ 9-x \geq 0\end{cases} \quad \begin{cases} 2-2x \geq 0 \\ 9-x > (2-2x)^2\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\ 9-x > 4-8x+4x^2\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\  4-8x+4x^2+x-9<0\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\  4x^2-7x-5<0\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\  \frac {7 - \sqrt {129}}{8}<x<\frac {7+\sqrt {129}}{8}\end{cases}

I sistemi avranno come soluzione:

  1. 1 < x \leq 9
  2. \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq 1

Unendo le due il sistema sarà verificato per  \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq 9

Mettendo insieme i risultati dei due fattori, la seconda disequazione sarà verificata per \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq \frac {15}{16}. Escludiamo la possibilità di x>9 in quanto renderebbe privo di significato il numeratore.

Mettendo a sistema:

\begin{cases}\frac 12 <x<4 \\ \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq \frac {15}{16} \end{cases},

avremo che la soluzione finale è:

\frac 12< x\leq \frac {15}{16}

 

 

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