Fabio scrive: Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Oggetto: Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Corpo del messaggio:

img016

 

Risposta dello staff

  • \frac {x+1}{\left|x\right|}<x

Distingueremo due casi:

    \[\begin{cases} x>0 \\ \frac {x+1}{x}<x \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ -\frac {x+1}{x}<x \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ \frac {x+1}{x}-x<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ -\frac {x+1}{x}-x<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x+1-x^2<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ x+1+x^2<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x^2-x-1>0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ \Delta <0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x< \frac {1-\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad x>\frac {1+\sqrt 5}{2} \end{cases}\]

Quindi la soluzione sarà:  x>\frac {1+\sqrt 5}{2}.

  • \frac {\left|x+1\right|}{3}<\frac {1}{\left|x-1\right|}

Distingueremo tre casi

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ \frac {-x-1}{3}<\frac {1}{1-x}  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \frac {x+1}{3}<\frac {1}{1-x}  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ \frac {x+1}{3}<\frac {1}{x-1}  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ \frac {-x-1}{3}-\frac {1}{1-x}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \frac {x+1}{3}-\frac {1}{1-x}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ \frac {x+1}{3}-\frac {1}{x-1}<0  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ \frac {-x+x^2-1+x-3}{3(1-x)}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \frac {x-x^2+1-x-3}{3(1-x)}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ \frac {x^2-x-x+1}{3(x-1)}<0  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ x^2<4  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ -x^2-2<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ x^2-4<0  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ -2<x<2  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \forall x \in R  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\  -2<x<2  \end{cases}\]

Le soluzioni saranno:

  1. -2<x\leq -1
  2. -1<x<1
  3. 1<x<2

Unendo tutto avremo -2<x<2 con x \neq 1.

  • \left| x^2\right|=x

Essendo x^2 sempre positivo, possiamo eliminare il valore assoluto e risolvere l’equazione semplice

x^2+x=0

x(x+1)=0

x_1=0

x_2=-1

  • \left|\frac 1x \right|=x-1

Distinguiamo due casi:

    \[\begin{cases} x>0 \\ \frac {1}{x}=x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ \frac {1}{x}=1-x \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x^2-x-1=0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ x^2-x+1=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x= \frac {1 \pm \sqrt 5}{2} \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ \Delta<0 \end{cases}\]

Nel primo sistema avremo una sola soluzione accettabile, ovvero x=\frac {1+\sqrt 5}{2}.

 

 

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 72 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *