Samantha scrive: Matrici inverse

Oggetto: matrici inverse

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3)

    \[\begin{bmatrix} 0 & 3 & 1 & \left | & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & \left| & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \left| & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

Alla prima sommiamo la seconda:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & \left | & 1 & -1 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & \left| & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \left| & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

Alla seconda sommiamo la prima:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & \left | & 1 & -1 & 0 \\  0 & 3 & 1 & \left| & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \left| & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

Moltiplichiamo 3 volte la terza e a questa sommiamo la seconda:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & \left | & 1 & -1 & 0 \\  0 & 3 & 1 & \left| & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \left| & 1 & 0 & 3\end{bmatrix}\]

Alla seconda sottraiamo la terza

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & \left | & 1 & -1 & 0 \\  0 & 3 & 0 & \left| & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & \left| & 1 & 0 & 3\end{bmatrix}\]

Dividiamo per 3 la seconda riga:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & \left | & 1 & -1 & 0 \\  0 & 1 & 0 & \left| & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \left| & 1 & 0 & 3\end{bmatrix}\]

Alla prima sottraiamo la seconda e 2 volte la terza:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \left | & -1 & -1 & -5 \\  0 & 1 & 0 & \left| & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \left| & 1 & 0 & 3\end{bmatrix}\]

Essendoci matrice inversa, allora questa non è singolare.

6)

    \[\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & \left | & 1 & 0 & 0 \\  1 & -1 & -1 & \left| & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & \left| & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

Sommando alla prima la terza, e sottraend la seconda alla terza otteniamo:

    \[\begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 & \left | & 1 & 0 & 1 \\  1 & -1 & -1 & \left| & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \left| & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}\]

Essendo prima e terza riga multiple l’una dell’altra, allora questa matrice non è invertibile.

9)

La matrice non ammette inversa a sinistra perchè:

    \[\begin{bmatrix} a & b  \\  c & d \\ e & f \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\  1 & -1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

avrà nello stesso sistema:

    \[\begin{cases}  2a+b=1 \\ -b=0 \\ a=0 \end{cases}\]

che è impossibile.

Ammetterà invece inversa a destra poichè:

    \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\  1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b  \\  c & d \\ e & f \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0  \\  0 & 1  \end{bmatrix}\]

avrà nel sistema:

    \[\begin{cases} 2a+e=1 \\ 2b+f=0 \\ a-c=0 \\ b-d=1 \end{cases}\]

che ammetterà infinite soluzioni del tipo:

    \[\begin{bmatrix} a & b  \\  a & b+1 \\ 1-2a & -2b \end{bmatrix}\]

Sostituendo ad a e b valore nullo, otterremo una inversa:

    \[\begin{bmatrix} 0 & 0  \\  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

 

 

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