Leandro scrive: Esercizi circonferenza

Oggetto: Circonferenza

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1) Senza fare grossi calcoli basterà notare che, il diametro della più piccola circonferenza apparterrà alla retta passante per i due centri.

$C_1(0;0)$

$C_2(1;2)$

Facendo il disegno e tracciando la linea individuiamo tre segmenti:

il primo sarebbe il raggio della circonferenza più piccola, di lunghezza 1.
il secondo è il segmento che congiunge i 2 centri, di lunghezza $\sqrt 5$ .
il terzo è il raggio della circonferenza più grande, di lunghezza 2.

Quindi, il diametro della circonferenza sarebbe:

$d=1+\sqrt 5+2=3+\sqrt 5$ .

Il raggio si ottiene dividendo per 2.

2) per ricavare la retta t, troviamo i centri dei due fasci:

$3hx-x+2hy-6=0$

$x+6-h(3x+2y)=0$

$C_1(-6;9)$

$hx+hy-y-h=0$

$h(x+y-1)-y=0$

$C_2(1;0)$

Ricaviamo la retta passante per i due punti $C_1$ e $C_2$ :

$\frac {y-9}{0-9}=\frac{x+6}{1+6}$

$7y-63=-9x-54$

$9x+7y-9=0$

Per ricavare l’area del triangolo troviamo i due punti di intersezione della retta con gli assi coordinati:

$P_1(0;\frac 97)$

$P_2(1;0)$

$A=\frac {1 \cdot \frac 97 }{2}=\frac {9}{14}$

Per definizione, in un triangolo rettangolo ortocentro, circocentro e baricentro sono allineati, ma verifichiamo con i calcoli. Per verificare che i tre punti siano allineati, calcoliamo le coordinate:

L’ortocentro sarà ovviamente l’origine, in quanto punto di intersezione delle altezze.

Il baricentro lo calcoliamo:

$G=\left(\frac {0+0+1}{3};\frac {0+\frac 97+0}{3}\right)=(\frac 13;\frac 37)$

La retta che passa per O e G sarà:

$y=mx$

$\frac 37=\frac 13m$

$m=\frac 97$

Il circocentro, essendo l’intersezione degli assi, lo possiamo calcolare tracciando le perpendicolare ai due cateti del triangolo rettangolo nei loro punti medi.

Le due rette saranno:

$x=\frac 12$ e $y=\frac {9}{14}$

Quindi: $C\left(\frac12;\frac {9}{14}\right)$

Vediamo se verifica le condizioni di passaggio:

$y=\frac 97x$

$\frac {9}{14}=\frac 97 \frac 12=\frac {9}{14}$

come volevasi dimostrare.

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La matematica spiegata passo passo

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