Giovanni scrive: Disequazione parametrica

Pubblicato il 6 Settembre 2014 da Lo StaffLascia un commento

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Svolgere la seguente disequazione:

Risposta dello staff

Dato che $x^2+3$ è sempre positivo ci limiteremo a studiare:

$\frac {\left | 1- \lambda \right|}{x^2+3} \leq 1$

$\left | 1- \lambda \right| \leq x^2+3$

Quindi, se $\lambda \leq 1$ , avremo:

$1- \lambda \leq x^2+3$

$x^2+2+\lambda \geq 0$

$x^2 \geq -2-\lambda$

Quindi:

$-2-\lambda \leq 0 \iff \lambda \geq -2$ la disequazione è sempre verificata. Intersecando con la condizione iniziale avremo:
$-2 \leq \lambda \leq 1$ sempre verificata.
$\lambda <-2$ avremo che la soluzione della disequazione è:
$x \leq -\sqrt{-2-\lambda} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{-2-\lambda}$

Analizziamo ora per $\lambda >1$ .

$\lambda-1 \leq x^2+3$

$x^2 \geq \lambda-4$

Quindi, per $1<\lambda \leq 4$ la disequazione sarà sempre verificata.

per $\lambda>4$ , l’equazione sarà verificata per:

$x \leq -\sqrt{\lambda-4} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{\lambda-4}$

Unendo ora il tutto avremo:

$\lambda<-2 \Rightarrow x \leq -\sqrt{-2-\lambda} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{-2-\lambda}$
$-2 \leq \lambda \leq 4$ la disequazione è sempre verificata
$\lambda >4 \Rightarrow x \leq -\sqrt{\lambda-4} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{\lambda-4}$

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