Equazione biquadratica 13

x^4-2(4+\sqrt 3)x^2+8(2+\sqrt 3)=0

Svolgiamola come equazione di secondo grado, ma calcoliamo prima a parte il \Delta.

a=1

b=-2(4+\sqrt 3)

c=8(2+\sqrt 3)

\Delta=4(4+\sqrt 3)^2-32(2+\sqrt 3)=4(16+8\sqrt 3 + 3)-64-32\sqrt 3= 64+32\sqrt 3+12-64-32\sqrt 3=12

Quindi adesso calcoliamo le due soluzioni:

x^2_{\frac 12}=\frac {2(4+\sqrt 3) \pm \sqrt {12}}{2}

x^2_{\frac 12}=\frac {2(4+\sqrt 3) \pm 2\sqrt {3}}{2}

x^2_1=\frac {8+2\sqrt 3 - 2\sqrt {3}}{2}=\frac 82=4

x^2_2=\frac {8+2\sqrt 3 + 2\sqrt {3}}{2}=\frac {8+4\sqrt 3}{2}=4+2\sqrt 3

Quindi:

x^4-2(4+\sqrt 3)x^2+8(2+\sqrt 3)=(x^2-4)(x^2-4-2\sqrt3)

E discutiamo i due casi:

  • x^2-4=0

x^2=4

x^2=\pm 2

  • x^2-4-2\sqrt 3=0

x^2=4+2\sqrt 3

x=\pm \sqrt {4+2\sqrt 3}

x=\pm \sqrt {(1+\sqrt 3)^2}

x=\pm (1+\sqrt 3).

 

 

 

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