Esercizio 8 equazioni lineari in seno e coseno

Traccia

5 cos x + 2 sen x = 2

Svolgimento

Questa equazione non è proprio immediata, ma bisognerà adottare un artificio, ovvero l’elevazione al quadrato di ambo i membri:

(2sen x +  5cos x)^2 = 2^2

4sen^2x+20senxcosx+25cos^2x=4

Se notiamo poi che 4 lo possiamo anche scrivere come 4(sen^2x+cos^2x), visto che equivale a moltiplicare per 1, otteniamo:

4sen^2x+20senxcosx+25cos^2x=4sen^2x+4cos^2x

4sen^2x+20senxcosx+25cos^2x-4sen^2x-4cos^2x=0

20senxcosx+21cos^2x=0

cosx(20senx+21cosx)=0

Quindi avremo due casi:

  • 20senx+21cosx=0

Dividendo tutto per tgx otteniamo:

20tgx+21=0

tgx=-\frac {21}{20} Da cui otteniamo come soluzione:

x=arctg -\frac {21}{20}+ k180^\circ

  • cosx=0

Da cui otteniamo come soluzione:

x=90^\circ + k180^\circ

 

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