Esercizio 15 equazioni lineari in seno e coseno

Traccia

4cos x + sen x = \frac {4+\sqrt 3}{2}

Svolgimento

Questa equazione non è proprio immediata, ma bisognerà adottare un artificio, ovvero le formule parametriche:

senx = \frac {2t}{1+t^2}

cosx = \frac {1-t^2}{1+t^2},

dove t=tg \frac x2.

Sostituendo il tutto nell’equazione iniziale otteniamo

4 \frac {1-t^2}{1+t^2}+ \frac {2t}{1+t^2} = \frac {4+\sqrt 3}{2}

\frac {8-8t^2+4t}{2(1+t^2)}=\frac {4+4t^2+\sqrt3+\sqrt3 t^2}{2(1+t^2)}

8-8t^2+4t=4+4t^2+\sqrt3+\sqrt3 t^2

-12t^2-\sqrt 3 t^2 +4t+4-\sqrt 3=0

t^2(12+\sqrt 3)-4t-4+\sqrt 3=0

t_{\frac 12}=\frac {2\pm \sqrt {4 +48-12\sqrt 3+4\sqrt 3-3}}{12+\sqrt 3}

t_{\frac 12}=\frac {2\pm \sqrt {49-8\sqrt 3}}{12+\sqrt 3}

Usiamo le proprietà dei radicali doppi:

\sqrt {49-8\sqrt 3}=\sqrt {\frac  {49+\sqrt {2401-192}} {2}}-\sqrt {\frac  {49-\sqrt {2401-192}} {2}}=\sqrt {\frac  {49+\sqrt {2209}} {2}}-\sqrt {\frac  {49-\sqrt {2209}} {2}}=\sqrt {\frac  {49+47} {2}}-\sqrt {\frac  {49-47} {2}}=4\sqrt 3 -1.

t_{\frac 12}=\frac {2\pm (4\sqrt 3-1)}{12+\sqrt 3}

t_1=\frac {2- 4\sqrt 3+1}{12+\sqrt 3}\frac {12-\sqrt 3}{12-\sqrt 3}=\frac {36+3\sqrt 3-48\sqrt 3-12}{144- 3}=\frac {24-45\sqrt 3}{141}

 

 

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La matematica spiegata passo passo