Problema 5

Risoluzione e spiegazione del seguente problema risolubile con il teorema di pitagora

 

  1. Del rettangolo ABCD si conosce la base AB=64 cm e l’altezza BC=1 dm. Si prenda su AB un punto  M e su CD un punto N in modo che sia DN=2 AM e che l’area del trapezio AMND sia 360 cm^2. Determinare il perimetro dei due trapezi AMND e MBCN.(Porre \overline {AM}=x).

Poniamo AM=x. Da questo e dai dati otteniamo:

DN=2x

BM=64-x

CN=64-2x.

 

Nel trapezio AMND le due basi sono rappresentate proprio da DN e AM, quindi sostituendo con le incognite appena inserite, otteniamo:

A_{AMND}=\frac 1 2 (x+2x)*10 = 360(ometto le unità di misura per comodità…)

15x=360

x=24 \mbox { cm}

DN=48 \mbox { cm}

BM=(64-24) \mbox { cm}=40 \mbox { cm}

CN=(64-48) \mbox { cm}=16 \mbox { cm}

Ora ci serve solo calcolare il lato obliquo MN, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo NHM. Per calcolare HM, basta vedere che possiamo vederlo come differenza di segmenti:

HM=BM-CN=(40-16) \mbox { cm}= 24 \mbox { cm}

Quindi, per il th di Pitagora avremo:

MN=\sqrt {HN^2+MH^2}

MN=\sqrt {10^2+24^2} \mbox { cm}=\sqrt {100+576} \mbox { cm}=\sqrt {676} \mbox { cm}=26 \mbox { cm}

Così adesso possiamo calcolare i 2 perimetri:

2p_{ADMN}=(10+24+48+26) \mbox { cm}=108 \mbox { cm}

2p_{BMNC}=(40+26+16+10)\mbox { cm}=92 \mbox { cm}

 

 

 

 

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